Sistemi lineari a gradini.
Buongiorno.
Testo da cui sto studiando: Geometria uno-Sernesi.
Sto studiando i sistemi lineari a gradini e le loro soluzioni.
In particolare sto studiando il caso in cui $m$ (1) { ( a_(11)X_1+a_12X_2+...+a_(1m)X_m=b_1-(a_(1m+1)X_(m+1)+...+a_(1n)X_n) ),( \qquadqquad\qquad\qquada_22X_2+...+a_(2m)X_m=b_2-(a_(2m+1)X_(m+1)+...+a_(2n)X_n) ),( ),( ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquada_(mm)X_m=b_m-(a_(mm+1)X_(m+1)+...+a_(mn)X_n)):} $
Testo da cui sto studiando: Geometria uno-Sernesi.
Sto studiando i sistemi lineari a gradini e le loro soluzioni.
In particolare sto studiando il caso in cui $m
Per determinare una soluzione di un siffatto sistema devo dare dei valori arbitrari $t_(m+1), ..., t_n in K$ all'incognite libere $X_(m+1), ...., X_n$ e quindi ottengo
$ (2) { ( a_(11)X_1+a_12X_2+...+a_(1m)X_m=b_1-(a_(1m+1)t_(m+1)+...+a_(1n)t_n) ),( \qquadqquad\qquad\qquada_22X_2+...+a_(2m)X_m=b_2-(a_(2m+1)t_(m+1)+...+a_(2n)t_n) ),( ),( ),( \qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad \qquad \qquad \qquad\qquada_(mm)X_m=b_m-(a_(mm+1)t_(m+1)+...+a_(mn)t_n)):} $
dopodiché procedendo con il metodo di sostituzione all'indietro ho un unica soluzione. Dunque, per ogni scelta dei possibili valori $t_(m+1), ..., t_n $ ho una soluzione del sistema. Quindi un sistema lineare a gradini come $(1)$ ha infinite soluzioni ottenute le quali si ottengono facendo variare i parametri $t_(m+1),...,t_n in K.$ Fin qui mi è chiaro, invece mi è meno chiaro la seguente:
Dal modo in cui si calcolano le soluzioni si deduce che ogni soluzione del sistema $(2)$si esprime come n-upla
$ **(S_1(t_(m+1), ..., t_n), S_2(t_(m+1), ..., t_n),..., S_2(t_(m+1), ..., t_n))$
in cui gli $S_i(t_(m+1), ..., t_n)$ sono polinomi di primo grado nei parametri $t_(m+1),..., t_n. $Il punto finale non mi è chiaro, cioè mi chiaro del perché il sistema $(1)$ ha infinite soluzioni e come si determinano, cosi si vuole dire con quella scrittura $**$ ? Ogni componente $S_i(t_(m+1), ..., t_n)$ è un parametro che vai sostituito nell'incognita $X_i$ con $i=1,...,n$?
Risposte
Sta solo banalmente dicendo che ogni componente è una combinazione lineare dei parametri $t_i$.
Per esempio $S_1=t_1+3t_2$ e $S_2=4t_2)$ è il vettore delle soluzioni $(t_1 + 3t_2 , 4t_2)$
Per esempio $S_1=t_1+3t_2$ e $S_2=4t_2)$ è il vettore delle soluzioni $(t_1 + 3t_2 , 4t_2)$
Grazie bokonon ! 
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