Componenti covarianti e controvarianti

[LUCIANO741]

Buon giorno a tutti, vorrei chiarire un aspetto delle componenti covarianti e controvarianti di un vettore:

base di $R^2$: $V_1$=(3,3), $V_2$=(1,2)
base duale: $Ø_1$=(2/3,-1/3), $Ø_2$=(-1,1)
Vettore $A$=(2,5)

le componenti covarianti del vettore A sono:
$A_1$=$A•V_1$ = (2,5)•(3,3)=21
$A_2$=A•$V_2$ =(2,5)•(1,2) =12
le componenti controvarianti del vettore A sono:
$A^1$=$A•Ø_1$=(2,5)•(2/3,-1/3)=-1/3
$A^2$=$A•Ø_1$=(2,5)(-1,1)=3

Come si dimostrano in generale queste relazioni ?

Ho provato a schematizzare un caso specifico (https://we.tl/t-BErhGkpusD) per cercare di chiarire il problema da un punto di vista geometrico ma non mi è chiaro.
grazie a tutti

[dissonance]

https://arxiv.org/abs/math/0403252

Hope this helps (HTH)

[4131]

[ot]Ma perché la [tex]\phi[/tex] si è trasformata in un [tex]\emptyset/\varnothing[/tex]? [/ot]