Basi e spazi vettoriali.
In generale uno spazio vettoriale ha infinite basi? Come lo si può mostrare?
Risposte
No, se $V$ è uno spazio vettoriale di dimensione finita su un campo finito, esso è un insieme finito, quindi ha un numero finito di sottoinsiemi, e quindi un numero finito di basi (prova a contare quante, se $K$ ha $p^n$ elementi, e $V$ ha dimensione $d$)
Non saprei,puoi mostrarmelo?
Non ho ancora particolare familiarità con gli spazi vettoriali, la mia domanda nasce dal seguente problema, sia $p(x) $ un polinomio generico irriducibile in $Q$, con gruppo di Galois $S_3$,
Sia $E=Q(alpha, beta, gamma)$ il suo campo di spezzamento con $(alpha, beta, gamma) $ soluzioni,
$E//Q$ è uno spazio vettoriale, una base risulta ${1,alpha, alpha^2, alphabeta,alpha^2beta,beta}$ una altra base è ${1,beta, beta^2,beta alpha,beta^2alpha,alpha}$,ed ancora $1,gamma,gamma^2, gammaalpha, gamma^2alpha,alpha}$ è così via, continuando ne ho appena identificate $6$, ma possono essere in numero infinito, non riesco a capirlo.
Non ho ancora particolare familiarità con gli spazi vettoriali, la mia domanda nasce dal seguente problema, sia $p(x) $ un polinomio generico irriducibile in $Q$, con gruppo di Galois $S_3$,
Sia $E=Q(alpha, beta, gamma)$ il suo campo di spezzamento con $(alpha, beta, gamma) $ soluzioni,
$E//Q$ è uno spazio vettoriale, una base risulta ${1,alpha, alpha^2, alphabeta,alpha^2beta,beta}$ una altra base è ${1,beta, beta^2,beta alpha,beta^2alpha,alpha}$,ed ancora $1,gamma,gamma^2, gammaalpha, gamma^2alpha,alpha}$ è così via, continuando ne ho appena identificate $6$, ma possono essere in numero infinito, non riesco a capirlo.
E' elementare aritmetica dei cardinali: un $K$-spazio vettoriale \(V\) di dimensione $d$ è in biiezione con l'insieme \(K^d\) delle \(d\)-uple ordinate di elementi di $K$, ossia col prodotto cartesiano \(K\times \dots\times K\); questo insieme ha cardinalità \(|K|^d\), e si danno due casi:
1. o \(|K|\) è finito, diciamo con \(n\) elementi, e allora \(|K|^d = n^d\)
2. o \(K\) è infinito, e allora \(|K|^d=|K|\).
Il numero di basi di uno spazio vettoriale, ora, è la cardinalità dell'insieme delle \(d\)-uple di vettori linearmente indipendenti, ossia la cardinalità del gruppo generale lineare di dimensione d su $K$. Questo è un gruppo finito quando $K$ è finito, e contare il suo numero di elementi è un divertente esercizio di combinatoria enumerativa con i binomiali di Gauss, ed è infinito (della stessa cardinalità di $K$) quando $K$ è infinito.
1. o \(|K|\) è finito, diciamo con \(n\) elementi, e allora \(|K|^d = n^d\)
2. o \(K\) è infinito, e allora \(|K|^d=|K|\).
Il numero di basi di uno spazio vettoriale, ora, è la cardinalità dell'insieme delle \(d\)-uple di vettori linearmente indipendenti, ossia la cardinalità del gruppo generale lineare di dimensione d su $K$. Questo è un gruppo finito quando $K$ è finito, e contare il suo numero di elementi è un divertente esercizio di combinatoria enumerativa con i binomiali di Gauss, ed è infinito (della stessa cardinalità di $K$) quando $K$ è infinito.
"francicko":Quanto forte bisogna bacchettare sulle nocche uno che studia teoria di Galois prima di aver capito gli spazi vettoriali?
Non saprei,puoi mostrarmelo?
Non ho ancora particolare familiarità con gli spazi vettoriali, la mia domanda nasce dal seguente problema, sia $p(x) $ un polinomio generico irriducibile in $Q$, con gruppo di Galois $S_3$.
"megas_archon":
Quanto forte bisogna bacchettare sulle nocche uno che studia teoria di Galois prima di aver capito gli spazi vettoriali?
Amen!
"francicko":Se la dimensione è finita e il campo base $K$ è infinito sì, dato che se
In generale uno spazio vettoriale ha infinite basi? Come lo si può mostrare?
$v_1,...,v_n$
è una base e $c in K$ è uno scalare non nullo allora
$cv_1,...,cv_n$
è un'altra base (ovviamente).
Questo si generalizza al caso di dimensione infinita quando $K$ è infinito.
Quando $K$ è finito e la dimensione è infinita bisogna stare un attimo più attenti ma si riesce comunque a trovare infinite basi.
Invece quando sia $K$ che la dimensione sono finiti allora lo spazio vettoriale è esso stesso un insieme finito e quindi ovviamente ammette solo un numero finito di basi.
Ok! Comincio ad avere un idea un po' più chiara.
Sempre considerando uno spazio vettoriale $V$ a dimensione finita$n$ ed con campo base $K$ infinito, e sia ${v_1,v_2, v_3,....v_n}$ una base, presi degli scalari qualsiasi $alpha_1,alpha_2,alpha_3,....., alpha_n$ appartenenti a $K$ allora ${alpha_1v_1,alpha_2v_2,alpha_3v_3,.....,alpha_nv_n}$ è ancora una base di $V$, scusate se la domanda è banale ma sono al primo impatto con la materia.
Grazie!
Grazie!
Sì se e solo se tutti gli scalari \(\alpha\) sono non nulli!
Perché?
Perché?
Grazie per la risposta!
Penso perché $n$ é la dimensione di $V$, quindi una base che genera $V$ non può avere meno di $n$ vettori, anzi neanche $>n$ perche altrimenti qualche Vettore risulterebbe combinazione lineare degli altri?
Giusto?
Penso perché $n$ é la dimensione di $V$, quindi una base che genera $V$ non può avere meno di $n$ vettori, anzi neanche $>n$ perche altrimenti qualche Vettore risulterebbe combinazione lineare degli altri?
Giusto?
Se fai questa domanda, mi dimostri di avere le idee estremamente confuse!, dato che il concetto di "dimensione di uno spazio vettoriale su un campo" è seguente a quello di base!
Domanda facile: in una base di uno spazio vettoriale puoi trovare il vettore nullo?
Domanda facile: in una base di uno spazio vettoriale puoi trovare il vettore nullo?
Non ti meravigliare se dico scemenze ma sono proprio alle prime armi!
Penso di no, in una base non posso trovare il Vettore nullo, perché questa è composta dal numero minimo di vettori linearmente indipendenti che generano tutto $V$.
Se $0$ appartiene alla base, i vettori della base non sarebbero più linearmente indipendenti, requisito essenziale per essere una base.
Penso di no, in una base non posso trovare il Vettore nullo, perché questa è composta dal numero minimo di vettori linearmente indipendenti che generano tutto $V$.
Se $0$ appartiene alla base, i vettori della base non sarebbero più linearmente indipendenti, requisito essenziale per essere una base.
"francicko":Quindi la base è un insieme composto da un unico numero...
[...] Penso di no, in una base non posso trovare il Vettore nullo, perché questa è composta dal numero minimo di vettori linearmente indipendenti che generano tutto $V$.
Dato che qui non sei sotto esame: potresti anche consultare il libro di testo che adoperi, e verificare se le tue idee sono corrette!
Te lo scrivo perché non ti sono chiari i concetti basici, e qui non possiamo fare nulla per aiutarti; se non evidenziare gli errori, e invitarti a fissare per bene la teoria!
Scusa ma non sto affermando che la base è composta da un unico numero!!
Siano $v_1,v_2,...,v_n$ un insieme di vettori, e Supponiamo che per esempio sia $v_1=0$ il Vettore nullo, allora detti vettori sono certamente linearmente dipendenti, perché $1xxv_1+0xxv_2+....+0v_n=0$ ed il coefficiente di $v_1$ non è nullo.
Quindi una base non potrà mai contenere il Vettore nullo, in quanto questi devono risultare linearmente indipendenti. Non vedo nessun errore.
Siano $v_1,v_2,...,v_n$ un insieme di vettori, e Supponiamo che per esempio sia $v_1=0$ il Vettore nullo, allora detti vettori sono certamente linearmente dipendenti, perché $1xxv_1+0xxv_2+....+0v_n=0$ ed il coefficiente di $v_1$ non è nullo.
Quindi una base non potrà mai contenere il Vettore nullo, in quanto questi devono risultare linearmente indipendenti. Non vedo nessun errore.
Bene: un sistema l.i. di vettori (in particolare una base) non può possedere il vettore nullo.
...dove eravamo rimasti?
...dove eravamo rimasti?
Tra spazi vettoriali esistono come in altre strutture i concetti di omomorfismo, isomorfismi ed automorfismo?
Mi chiedevo quali potevano essere gli automorfismi in uno spazio vettoriale $V$.
Fissato un $k$ $in$ $K$, e comunque preso un $v$ $in$ $V$ se considero l'applicazione di $V->V$ tale che $f(v)=kv$ questa è un automorfismo? Vero?
In un automorfismo una base deve essere trasformata in un altra base di $V$, mi sembra giusto?
Tutti gli automorfismi di uno spazio vettoriale hanno la forma su indicata?
Mi chiedevo quali potevano essere gli automorfismi in uno spazio vettoriale $V$.
Fissato un $k$ $in$ $K$, e comunque preso un $v$ $in$ $V$ se considero l'applicazione di $V->V$ tale che $f(v)=kv$ questa è un automorfismo? Vero?
In un automorfismo una base deve essere trasformata in un altra base di $V$, mi sembra giusto?
Tutti gli automorfismi di uno spazio vettoriale hanno la forma su indicata?
"francicko":
Fissato un $k$ $in$ $K$, e comunque preso un $v$ $in$ $V$ se considero l'applicazione di $V->V$ tale che $f(v)=kv$ questa è un automorfismo? Vero?
No.
"francicko":
In un automorfismo una base deve essere trasformata in un altra base di $V$, mi sembra giusto?
Sì.
"francicko":
Tutti gli automorfismi di uno spazio vettoriale hanno la forma su indicata?
No.
"francicko":Ti avevo già risposto così:
[...] Fissato un $ k $ $ in $ $ K $, e comunque preso un $ v $ $ in $ $ V $ se considero l'applicazione di $ V->V $ tale che $ f(v)=kv $ questa è un automorfismo? Vero? [...]
"j18eos":
Sì se e solo se tutti gli scalari \(\alpha\) sono non nulli!
Perché?
Sia ${v_1,v_2,...,v_n}$ una base di $V$ e $k$ uno scalare diverso da $0 $ altrimenti risultetebbe $0xxv_1=0,0xxv_2=0,...0xxv_n=0$ che non è una base. Se $k$ diverso da $0$ allora $kv_1,kv_2,....,kv_n$ è ancora una base, infatti gli elementi che la compongono sono ancora linearmente indipendenti, e generano $V$.
Sia $V$ uno spazio vettoriale ed $v_1v_2,....v_n$ una base esistono Mi chiedevo, esistono degli automorfimi tali che $v_i->v_j$ con $i,j$ $in$ $(1,2,...n) $?
Sia $V$ uno spazio vettoriale ed $v_1v_2,....v_n$ una base esistono Mi chiedevo, esistono degli automorfimi tali che $v_i->v_j$ con $i,j$ $in$ $(1,2,...n) $?
Francicko, non è possibile fare tutta la teoria su un forum. Bisogna studiare, preferibilmente fare un corso di algebra lineare.
Per rispondere alla tua domanda, fissata una base $v_1,...,v_n$ dell' $F$-spazio vettoriale $V$, se $A$ è una qualsiasi matrice $n xx n$ invertibile a coefficienti in $F$ e il suo elemento nella posizione $(i,j)$ è $a_{ij}$ allora la funzione $f:V to V$ definita da
$f(sum_{i=1}^n lambda_i v_i) := sum_{i=1}^n sum_(j=1)^n lambda_i a_{ij} v_j$
è un automorfismo di $V$.
Tutti gli automorfismi di $V$ sono di questo tipo.
Ora che lo sai, ti puoi chiedere "perché?", e la risposta la trovi sui libri. Davvero, ti consiglio di dedicare del tempo allo studio approfondito di queste cose. Segui un corso, ce ne sono tanti online.
Per rispondere alla tua domanda, fissata una base $v_1,...,v_n$ dell' $F$-spazio vettoriale $V$, se $A$ è una qualsiasi matrice $n xx n$ invertibile a coefficienti in $F$ e il suo elemento nella posizione $(i,j)$ è $a_{ij}$ allora la funzione $f:V to V$ definita da
$f(sum_{i=1}^n lambda_i v_i) := sum_{i=1}^n sum_(j=1)^n lambda_i a_{ij} v_j$
è un automorfismo di $V$.
Tutti gli automorfismi di $V$ sono di questo tipo.
Ora che lo sai, ti puoi chiedere "perché?", e la risposta la trovi sui libri. Davvero, ti consiglio di dedicare del tempo allo studio approfondito di queste cose. Segui un corso, ce ne sono tanti online.
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