Indipendeza lineare mediante i vettori delle coordinate.
Buongiorno. Sto provando a dimostrare la seguente relazione.
Sia $V$ spazio vettoriale sul campo $K$, e $B= {b_1, ...,b_n}$ una sua base. Considerati $v_1, ...., v_m$ vettori di $V$ con $bar(x_1)= (x_ (11), ..., x_(1n)), ..., bar(x_(m))=(x_(m1), ..., x_(mn)) $ vettori delle coordinate rispetto a $B$ dei vettori $v_1, ..., v_m$ rispettivamente. Dimostrare che se si consideri una combinazione lineare
Per dimostrare questa affermazione ho fatto così:
-$forall i, v_i=sum_(l=1)^nx_(ij)b_j$
-$sum_(i=1) ^malpha_iv_i=^1sum_(i=1) ^malpha_i(sum_(j=1)^nx_(ij)b_j)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=^2sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^nalpha_ix_(ij)b_j)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=^3sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^n(alpha_ix_(ij))b_j)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=^4sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^nalpha_ix_(ij))b_j$
1: posizione,
2: proprietà distributiva del prodotto per uno scalare rispetto alla somma di vettori,
3: proprietà associativa del prodotto per uno scalare,
4: proprietà distributiva del prodotto per uno scalare rispetto alla somma di scalari.
Inoltre, il vettore delle coordinate relativo a $a_iv_i$ è $a_ibar(x_i)=(a_ix_(i1),...,a_ix_(i\n))$.
Supponendo che quello che ho scritto sia corretto, segue
$v_1,...,v_m$ linearmente indipendenti se e solo se $bar(x_1),...,bar(x_m)$ lo sono.
Infatti, $sum_(i=1) ^malpha_iv_i=0_V <=> sum_(i=1) ^malpha_ibar(x_i)=0_V$.
Può andare bene ?
Sia $V$ spazio vettoriale sul campo $K$, e $B= {b_1, ...,b_n}$ una sua base. Considerati $v_1, ...., v_m$ vettori di $V$ con $bar(x_1)= (x_ (11), ..., x_(1n)), ..., bar(x_(m))=(x_(m1), ..., x_(mn)) $ vettori delle coordinate rispetto a $B$ dei vettori $v_1, ..., v_m$ rispettivamente. Dimostrare che se si consideri una combinazione lineare
$sum_(i=1) ^malpha_iv_i$
allora ha coordinate $sum_(i=1) ^malpha_ibar(x_i)$.
Per dimostrare questa affermazione ho fatto così:
-$forall i, v_i=sum_(l=1)^nx_(ij)b_j$
-$sum_(i=1) ^malpha_iv_i=^1sum_(i=1) ^malpha_i(sum_(j=1)^nx_(ij)b_j)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=^2sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^nalpha_ix_(ij)b_j)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=^3sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^n(alpha_ix_(ij))b_j)$
$\qquad\qquad\qquad\qquad=^4sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^nalpha_ix_(ij))b_j$
1: posizione,
2: proprietà distributiva del prodotto per uno scalare rispetto alla somma di vettori,
3: proprietà associativa del prodotto per uno scalare,
4: proprietà distributiva del prodotto per uno scalare rispetto alla somma di scalari.
Inoltre, il vettore delle coordinate relativo a $a_iv_i$ è $a_ibar(x_i)=(a_ix_(i1),...,a_ix_(i\n))$.
Supponendo che quello che ho scritto sia corretto, segue
$v_1,...,v_m$ linearmente indipendenti se e solo se $bar(x_1),...,bar(x_m)$ lo sono.
Infatti, $sum_(i=1) ^malpha_iv_i=0_V <=> sum_(i=1) ^malpha_ibar(x_i)=0_V$.
Può andare bene ?
Risposte
Se ho capito bene il quesito, sembra che non ci sia nulla da dimostrare, oppure che sia un esercizio di formalismo abbastanza estremo.
La tua dimostrazione e' comunque uno sforzo encomiabile ed e' molto rigorosa nelle giustificazioni, ma contiene un errore in $=^4$, perche' non puoi portare $b_j$ fuori dalla sommatoria, $j$ e' l'indice della sommatoria.
Quello che devi fare e' scambiare le sommatorie e solo dopo portare fuori $b_j$.
La tua dimostrazione e' comunque uno sforzo encomiabile ed e' molto rigorosa nelle giustificazioni, ma contiene un errore in $=^4$, perche' non puoi portare $b_j$ fuori dalla sommatoria, $j$ e' l'indice della sommatoria.
Quello che devi fare e' scambiare le sommatorie e solo dopo portare fuori $b_j$.
Ciao. Si hai ragione!
Quindi questa scrittura
$ sum_(i=1) ^malpha_iv_i=^1sum_(i=1) ^malpha_i(sum_(j=1)^nx_(ij)b_j) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^2sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^nalpha_ix_(ij)b_j) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^3sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^n(alpha_ix_(ij))b_j) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^4sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^nalpha_ix_(ij))b_j $
dovrebbe diventare
$ sum_(i=1) ^malpha_iv_i=^1sum_(i=1) ^malpha_i(sum_(j=1)^nx_(ij)b_j) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^2sum_(j=1) ^n(sum_(i=1)^malpha_ix_(ij)b_j)$
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^3sum_(j=1) ^n(sum_(i=1)^n(alpha_ix_(ij))b_j)$
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^4sum_(j=1) ^n(sum_(i=1)^malpha_ix_(ij))b_j$
giusto?
Riguarda l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
Quindi questa scrittura
$ sum_(i=1) ^malpha_iv_i=^1sum_(i=1) ^malpha_i(sum_(j=1)^nx_(ij)b_j) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^2sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^nalpha_ix_(ij)b_j) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^3sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^n(alpha_ix_(ij))b_j) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^4sum_(i=1) ^m(sum_(j=1)^nalpha_ix_(ij))b_j $
dovrebbe diventare
$ sum_(i=1) ^malpha_iv_i=^1sum_(i=1) ^malpha_i(sum_(j=1)^nx_(ij)b_j) $
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^2sum_(j=1) ^n(sum_(i=1)^malpha_ix_(ij)b_j)$
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^3sum_(j=1) ^n(sum_(i=1)^n(alpha_ix_(ij))b_j)$
$ \qquad\qquad\qquad\qquad=^4sum_(j=1) ^n(sum_(i=1)^malpha_ix_(ij))b_j$
giusto?
"Quinzio":
Se ho capito bene il quesito, sembra che non ci sia nulla da dimostrare, oppure che sia un esercizio di formalismo abbastanza estremo.
Riguarda l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo.
Al passaggio \(^3=\) hai scritto una "\(n\)" di troppo.
E non vedo altro da suggerirti!
E non vedo altro da suggerirti!
Perfetto! Grazie mille 
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