Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
Ordina per
In evidenza
Ho un applicazione lineare f definita in R^2 del tipo (x+3y,-y)
Calolare la dimensione dell'immagine (dimIm f) la dimensione del nucleo (dimKer f) e stabilire se f è un isomorfismo!
Ho calcolato il determinante della matrice nella base canonica e mi viene -1, per cui il rango è 2. Da ciò deduco che la dimensione dell'immagine è 2!
La dimensione del nucleo è 0!
Ho un monomorfismo o un epimorfismo?!
Grazie per le eventuali risposte! L'ansia pre-esame gioca davvero brutti scherzi,
Calcolando questo determinante a mano trovo dei risultati in disaccordo a quanto faccio calcolare dal mio computer ...
La matrice e' questa:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 1+k & 0 & 1 \\ 1 & 0 & -1 & 0 \end{bmatrix} \]
Sviluppo lungo l'ultima riga ottenendo
\[ -1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 2 & 3 & 2 \\ 1+k & 0 & 1 \end{vmatrix} + 1 \begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & 2 \\ 2 & 1+k & 1 \end{vmatrix} = -1\]
Sbaglio qualcosa? O sbaglia Matlab?
Ho l'orale di matematica discreta martedì e il prof. (credo sia l'unico che lo fa in tutta la facoltà, onore a lui ) ha pubblicato una 70ina di domande "guida" su cui poter studiare.
Su 70 una decina non riesco a farle tra cui in particolare queste due dove per me c'è buio quasi completo...
So che è una cosa brutta e cattiva chiederlo, mi potreste dire come rispondere? Purtroppo le dimostrazioni teoriche mi riescono difficili (farle, non capirle).
1) Saper dimostrare che uno spazio vettoriale ...
Salve ragazzi, vorrei una spiegazione per quanto riguarda l'estrazione di una base di un sottoinsieme per esempio:
Ho un sottoinsieme del tipo (x-2y-z=0). L'esercizio mi chiede:
1) Si dimostri che V è un sotospazio di R^3 (Contiene il vettore nullo, inoltre è l'insieme delle soluzioni di un sistema omogeneo, per cui è un sottospazio)
2) Determinare una base e la dimensione dimV di V (la dimensione è 3) ma una base come si estrae? Vi ringrazio!
Hudio. Non so proprio come chiuderlo, 'sto esercizio.
Sia \( T \) il seguente spazio vettoriale
\[ T := \operatorname{span}( \mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{t}_3 ) \]
\[ \mathbf{t}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \, , \, \mathbf{t}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \, , \, \mathbf{t}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Come da titolo devo trovare un sistema di equazioni di cui \( T \) sia lo spazio delle soluzioni.
Una prima, e ...
salve,ho un esercizio che mi chiede,avendo S=(1,0,2)+,di trovare se possibile un'equazione avente S come insieme di soluzioni,poi un sistema a due equazioni,poi un sistema a tre equazioni,poi un sistema omogeneo.
dunque,io ho pensato che S è una retta,dunque dovrebbe avere due equazioni a definirla,ma in questo caso come faccio?
dopo aver trovato il sistema in due equazioni,potrei scrivere una terza combinazione lineare delle altre,e poi portare il termine noto a sinistra in modo da ...
Ciao a tutti ragazzi.
E' tutto oggi che sto cercando di trovare gli autovalori della seguente matrice:
{{7,2,-2},{2,3,-2},{-2,-2,3}}
Utilizzando wolfram gli autovalori che dovrebbero risultare sono 9, 3, 1. Ma purtroppo non riesco proprio ad arrivarci con nessun procedimento..
A svolgere i calcoli mi ritrovo sempre con un polinomio di 3° grado, molto probabilmente devo raccogliere da qualche parte ma non ho nessuna idea..
Mi affido a voi..vi ringrazio in anticipo!
'giorno a tutti.
Ho un altro esercizio sulle applicazioni lineari. Non è difficile, credo, ma vorrei comunque sapere di star facendo giusto.
Sia f: R4 --> R5 un'applicazione lineare non nulla tale che:
$ f((1),(1),(1),(0))=f((1),(0),(1),(1))=f((2),(1),(2),(1))=f((0),(0),(0),(7)) $
Trovare la dimensione dell'immagine.
Si vede a occhio che f(v1)+f(v2)=f(v3) e dunque se f(v1)+f(v2)=f(v1)=f(v2), dobbiamo concludere che tutti e quattro le immagini sono nulle e che dunque i quattro vettori sono nel Ker.
Inoltre, proprio perchè v1+v2=v3, dobbiamo levarne uno ...
Sia $A=((-2,2),(3,-1)) in M^2(R)$ e siano $U$ e $W$ due sottospazi tali che : in $U$ = {$X in M^2(R) t.c. XA$ è simmetrica}
e $W$={$x in M^2(R) t.c. XA$ è diagonale}.
Sono nel pallone.. come posso procedere?? Io so che una matrice è simmetrica se sono simmetrici gli elementi rispetto alla diagonale principale e una matrice è diagonale se tutti gli elementi della che non sono appartenenti alla diagonale principale sono uguali a zero. Ora io avevo pensato di ...
Ho bisogno del vostro aiuto per questo esercizio:
[size=85]Sia $f: RR^4 \to RR^4$ definita mediante le relazioni:
$f(1,1,2,1)=(4h+2, h+6, 8, 7)$
$f(1,1,1,1)=(3h+3, h+6, 6, 7)$
$f(0,1,1,1)=(2h+2, h+6, 6, 7)$
$f(0,0,0,1)=(h, 5, 4, 7)$
con $h in RR$
1) Studiare f al variare di h, determinando per ogni valore Imf, Kerf, le equazioni e le basi che li caratterizzano.
2) Siano assegnati i vettori $w_1=(1,0,1,0)$ e $w_2=(0,1,0,1)$, $in RR^4$ e il sottospazio $V=L(w_1, w_2)$. Determinare se esiste un valore di ...
Ciao a tutti, sto facendo esercizi su basi e dimensioni. Ma in questo esercizio non mi trovo con il risultato. Aiutatemi a capire cosa c'è di sbagliato. Grazie in anticipo.
In $RR^3$ siano $S$ e $T$ i sottospazi generati rispettivamente $vec(s_1)=((1),(2),(0)), vec(s_2)=((2),(-1),(0))$
e $\vec(t_1)=((0),(0),(1)), vec(t_2)=((0),(-1),(1))$. Determinare la dimensione e una base per $S\cap T$
ho provato a svolgere così
$S=Span\{((-1),(2),(0)); ((2),(-1),(0))\}$
e poichè i vettori $vec(s_1), vec(s_2)$ sono linearmente indipendenti.. ...
Ciao a tutti, stavo guardando un po' le prove d'esame del mio professore di Algebra Lineare, alcune prove hanno la soluzione. Però c'è un procedimento del mio prof che non ho capito. Aiutatemi per favore. Sto metodo mi risparmia un calcolo.
il testo era
Sia $ A=( ( 0 , 4 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ) ) $ e sia $f:L_A : RR^4\to RR^4$, $X\to AX$.
Esprimere esplicitamente f in coordinate, quindi determinarne il rango e stabilire se f e invertibile.
poi va bé c'erano delle altre richieste, ma per le altre sono a ...
Salve a tutti.
Data la seguente matrice 4x4:
\(\displaystyle 1 1 0 0\\
0100\\
0022\\
0002 \)
Devo trovare una base per nucleo e immagine.
Dato che l'immagine è =4 e il nucleo è =0,esiste comunque una base per il nucleo?
Gli autovalori di tale matrice sono λ1=λ2=1 λ3=λ4=2
Per quanto riguarda la base dell'immagine posso utilizzare una di quelle relative ad un autovalore?
Salve a tutti,
sono nuovo del forum, ho cercato se estesse già una discussione sul mio dubbio ma non l'ho trovata, quindi ve lo chiedo direttamente:
so che per calcolare il piano tangente a una funzione in più variabili tel tipo $ f(x; y) = 4y^3 + 2(y - x)^2 -12x $ in un punto
basta calcolare il polinomio di Taylor di primo grado in quel punto.
Alcune volte mi viene chiesto di calcolare il piano tangente alla Superficie della funzione,( nella funzione di esempio la supereficie è S: $ z = 4y^3+2(y-x)^2-12x $), ...
Ciao ragazzi, non riesco a dimostrare che una matrice ortogonale rappresenta un'isometria.
Io sto ragionando in questo modo: devo dimostrare che se $M$ è una matrice ortogonale, allora, se il prodotto scalare è $<x,y>$ devo avere:
$<x,y> = <Mx,My>$
Solo che non riesco a procedere! So che se $M$ è ortogonale le colonne formano una base ortonormale rispetto al prodotto scalare canonico, e a dir la verità
mi torna che "funzioni", solo che non riesco a ...
Esercizio: sia \( V :\equiv \mathbb{K}_3[X] \) un \( \mathbb{K} \)-spazio vettoriale. Sia \( W \subset V \) il sottoinsieme dei polinomi \( P(X) \in V \) tali che \( P(1) = P(0) = 0 \). Se \( Z \subset V \) e' un sottospazio di \( V \), una cui base e' \( \{ 2 X^3 + X, \, X^3 + 3X^2 + 2X \} \) si vuole verificare che \( W \) sia uno spazio vettoriale, se ne vuole trovare una base, e si vuole poi trovare una base di \( W + Z \) e di \( W \cap Z \).
La questione e' che non ho idea di come ...
Buongiorno a tutti,
stavo provando a trovare la matrice associata rispetto alla riflessione di un punto $ P_0 = (x_0, y_0) $ rispetto a una retta passante per l'origine $ ax + by = 0 $, in $ \mathbb{R}^2 $.
Avevo pensato a questa soluzione:
Troviamo il punto $ H $ come proiezione ortogonale di $ P_0 $ sulla retta $ r $, quindi $H = (P_0 \cdot v_r) / (||v_r||^2) v_r $.
Poi pongo $ P + P_0 = 2H $ e risolvendo ottengo $ P = 2H - P_0 = (2 (l x_0 + m y_0) / (l^2 + m^2) l - x_0, 2 (l x_0 + m y_0) / (l^2 + m^2) m - y_0) $.
È giusto il procedimento e il risultato? C'è ...
Ciao a tutti, ho un piccolo dubbio. Ho un'applicazione lineare $L: QQ^4 -> QQ[x]_{<=3}$, definita da:
$L(a,b,c,d) = (a+b) x^3 + (c+d) x^2 + 2cx + 2d$.
Devo determinare una base di $Ker L$ e una base di $Im L$, e utilizzarle per dire se esiste un'applicazione lineare $G: QQ[x]_{<=3}->QQ^4$ tale che $Ker G = Im L$ e $Im G = Ker L$.
Calcolare $Im L$ e $Ker L$ non è un problema:
la matrice associata sarà: $A=((1,1,0,0),(0,0,1,1),(0,0,2,0),(0,0,0,2))$, che ha $rk=3$. Dunque:
$ImL = <(1,0,0,0),(0,1,2,0),(0,1,0,2)>$ e ...
Ragazzi, ho bisogno di voi. Sto avendo non pochi problemi con questo esercizio.
'' Data la matrice A, determinare una base e la dimensione dello spazio delle righe della matrice. ''
$A = ((1, 2, -1, 0),(2, 1, 0, 2),(2, 7, -4, -2))$
Lo spazio delle righe di A è un sottospazio di $(RR)^n$ generato dalle righe della matrice.
Ora, ho pensato di vedere le righe della matrice come tre vettori e calcolare se sono una base:
$v_1 = (1, 2, -1, 0)$
$v_2 = (2, 1, 0, 2)$
$v_3 = (2, 7, -4, -2)$
Se sono una base, devono essere linearmente ...
Salve ragazzi vi chiedo un aiuto sul seguente problema.
Sia
$ x^2+y^2+z^2-2x+2y-4z = 3 $
una sfera di centro C = (1,-1,2) e raggio 3.
Sia una retta r così definita:
$ { ( 3x+4y-z=-3 ),( x-7y+z = c ):} $
Si trovi c in modo che esistano piani tangenti alla sfera e passanti per r.
Allora inizialmente si osserva che il piano $ 3x+4y-z=-3 $ passa per il centro della sfera. Si ricerca un piano $ Pi $ ortogonale al primo sempre passante per r (sommiamo il primo al secondo membro del sistema). Si ottiene ...
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo