[EX] Determinare un sistema di equazioni lineari di cui \( T \) sia lo spazio delle soluzioni.
Hudio. Non so proprio come chiuderlo, 'sto esercizio.
Sia \( T \) il seguente spazio vettoriale
\[ T := \operatorname{span}( \mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{t}_3 ) \]
\[ \mathbf{t}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \, , \, \mathbf{t}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \, , \, \mathbf{t}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Come da titolo devo trovare un sistema di equazioni di cui \( T \) sia lo spazio delle soluzioni.
Una prima, e poco utile, osservazione: \( T \) e' uno spazio vettoriale; se \( T \) dev'essere lo spazio delle soluzioni, l'unica e' che il sistema sia omogeneo (\( \operatorname{Sol}(A, \mathbf{b} \neq \mathbf{0}) \) non e' uno spazio vettoriale).
Quindi, mi serve costruire una matrice \( A \) --la matrice dei coefficienti-- tale che
\[ A \cdot \mathbf{t} = \mathbf{0} \qquad \forall \mathbf{t} \in T \]
Ma adesso?...
Avevo pensato di costruire \( A \) come la matrice associata ad un'applicazione \( f \in \operatorname{End}(\mathbb{K}^4) \) determinata da
\[ f(\mathbf{t}_1) = f(\mathbf{t}_2) = f(\mathbf{t}_3) = \mathbf{0}, f(\mathbf{v}) = \mathbf{w} \]
con \( \mathbf{v} \) vettore che completa il set \( \{ \mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{t}_3 \} \) ad una base di \( \mathbb{K}^4 \); e \( \mathbf{w} \) un vettore qualsiasi di \( \mathbb{K}^4 \) --possibilmente non il vettore nullo, altrimenti la matrice dei coefficienti e' la matrice nulla.
Se fosse cosi', fissata in partenza la base \( \mathcal{B} = \{ \mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{t}_3, \mathbf{v} \} \) e in arrivo la base canonica \( \mathcal{C} \) di \( \mathbb{K}^4 \) si ha
\[ A := \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & (F_{\mathcal{C}}(\mathbf{w}))_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & (F_{\mathcal{C}}(\mathbf{w}))_4 \end{bmatrix} \]
Ma non mi convince per nulla la faccenda. Qualche aiuto?
Vi ringrazio
Sia \( T \) il seguente spazio vettoriale
\[ T := \operatorname{span}( \mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{t}_3 ) \]
\[ \mathbf{t}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \, , \, \mathbf{t}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ -1 \\ -1 \end{bmatrix} \, , \, \mathbf{t}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} \]
Come da titolo devo trovare un sistema di equazioni di cui \( T \) sia lo spazio delle soluzioni.
Una prima, e poco utile, osservazione: \( T \) e' uno spazio vettoriale; se \( T \) dev'essere lo spazio delle soluzioni, l'unica e' che il sistema sia omogeneo (\( \operatorname{Sol}(A, \mathbf{b} \neq \mathbf{0}) \) non e' uno spazio vettoriale).
Quindi, mi serve costruire una matrice \( A \) --la matrice dei coefficienti-- tale che
\[ A \cdot \mathbf{t} = \mathbf{0} \qquad \forall \mathbf{t} \in T \]
Ma adesso?...
Avevo pensato di costruire \( A \) come la matrice associata ad un'applicazione \( f \in \operatorname{End}(\mathbb{K}^4) \) determinata da
\[ f(\mathbf{t}_1) = f(\mathbf{t}_2) = f(\mathbf{t}_3) = \mathbf{0}, f(\mathbf{v}) = \mathbf{w} \]
con \( \mathbf{v} \) vettore che completa il set \( \{ \mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{t}_3 \} \) ad una base di \( \mathbb{K}^4 \); e \( \mathbf{w} \) un vettore qualsiasi di \( \mathbb{K}^4 \) --possibilmente non il vettore nullo, altrimenti la matrice dei coefficienti e' la matrice nulla.
Se fosse cosi', fissata in partenza la base \( \mathcal{B} = \{ \mathbf{t}_1, \mathbf{t}_2, \mathbf{t}_3, \mathbf{v} \} \) e in arrivo la base canonica \( \mathcal{C} \) di \( \mathbb{K}^4 \) si ha
\[ A := \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 & (F_{\mathcal{C}}(\mathbf{w}))_1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & (F_{\mathcal{C}}(\mathbf{w}))_4 \end{bmatrix} \]
Ma non mi convince per nulla la faccenda. Qualche aiuto?
Vi ringrazio
Risposte
In questi casi un metodo possibile è come segue.
Si costruisce la matrice M che ha come prime 3 righe i vettori $t_1,t_3,t_2$ e come quarta riga il vettore $(x,y,z,t)$:
$M=((1,-1,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,-1,-1),(x,y,z,t))$
Si riduce M a scalini e si ottiene la matrice M' :
$M'=((1,-1,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,-1,-1),(0,0,0,x+y+z-t))$
Si pongono uguale a 0 gli elementi non nulli della quarta riga di M' e si ottiene così il sistema richiesto.
Nel nostro caso il sistema si riduce alla sola equazione :
(1) $x+y+z-t=0$
ed è facile verificare che i vettori $t_i$ sono soluzioni della (1)
Si costruisce la matrice M che ha come prime 3 righe i vettori $t_1,t_3,t_2$ e come quarta riga il vettore $(x,y,z,t)$:
$M=((1,-1,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,-1,-1),(x,y,z,t))$
Si riduce M a scalini e si ottiene la matrice M' :
$M'=((1,-1,0,0),(0,1,-1,0),(0,0,-1,-1),(0,0,0,x+y+z-t))$
Si pongono uguale a 0 gli elementi non nulli della quarta riga di M' e si ottiene così il sistema richiesto.
Nel nostro caso il sistema si riduce alla sola equazione :
(1) $x+y+z-t=0$
ed è facile verificare che i vettori $t_i$ sono soluzioni della (1)
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