[EX] Intersezione e somma di sottospazi

[giuscri]

Esercizio: sia \( V :\equiv \mathbb{K}_3[X] \) un \( \mathbb{K} \)-spazio vettoriale. Sia \( W \subset V \) il sottoinsieme dei polinomi \( P(X) \in V \) tali che \( P(1) = P(0) = 0 \). Se \( Z \subset V \) e' un sottospazio di \( V \), una cui base e' \( \{ 2 X^3 + X, \, X^3 + 3X^2 + 2X \} \) si vuole verificare che \( W \) sia uno spazio vettoriale, se ne vuole trovare una base, e si vuole poi trovare una base di \( W + Z \) e di \( W \cap Z \).

La questione e' che non ho idea di come scrivere il generico vettore di \( W \), se non andare ad intuito e dire che sara' qualcosa del tipo
\[ W = \{ \alpha (X -X^2) \; | \; \alpha \in \mathbb{K} \} \]
quindi di dimensione \( 1 \).

D'altro canto mi accorgo che --sempre per botta di fortuna-- non esiste alcuna combinazione lineare dei vettori della base di \( Z \) con cui riesca ad ottenere \( X -X^2 \). Infatti, passando da \( \mathbb{K}_3[X] \) in \( \mathbb{K}^4 \) ottengo noto che la matrice
\[ \begin{bmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 & 1 \\ 0 & 3 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{bmatrix} \]
ha rango massimo.

In sostanza
\[ \operatorname{dim}(W \cap Z) = 0 \]

Usando poi la formuladiGrassman ottengo che
\[ \operatorname{dim}(W + Z) = \operatorname{dim}(W) + \operatorname{dim}(Z) = 1+ 2 = 3 \]
e che una base di \( W + Z \) e' (per il calcolo del rango fatto sopra) puo' essere tranquillamente
\[ \mathcal{B} := \{ 2X^3 + X, \, X^3 + 3X^2 + 2X, \, X - X^2 \} \]

...che dite? La questione che lascia parecchio perplesso e' di essere partito in bilico: non so se \( W \) e' lo spazio dei multipli di \( X - X^2 \).
Se anche fosse corretto, come avrei potuto fare diversamente (a imporre \( P(1) = P(0) = 0 \), intendo)

Ringrazio

[Trilogy]

Forse avresti potuto scrivere il generico polinomio
$P(X)=aX^3+bX^2+cX+d$,
e imporre $P(0)=0$ e $P(1)=0$, ottenendo
$d=0$ e $a+b+c+d=0$.
Cioè
$d=0$ e $c=-a-b$.
Quindi il polinomio generico di $W$ è
$aX^3+bX^2-(a+b)X$

[giuscri]

Hai ragione! Quindi un paio di scappatoie che m'erano andate bene prima sarebbero da ripensare. Di certo lo spazio \( W \) ha dimensione pari a \( 2 \), e lo spazio somma dovrebbe avere dimensione \( 3 \).

D'altro canto, sempre usando Grassman dovrei avere che \( W \cap Z = 1 \). Infatti:
\[ \operatorname{dim}(W \cap Z) = \operatorname{dim}(W) + \operatorname{dim}(Z) - \operatorname{dim}(W+Z) = 1 \]

Per il momento pero' non mi viene in mente nulla su come trovare quel vettore che genera \( W \cap Z \). *

EDIT: ho modificato la parte sulla formula di Grassman --era sbagliata!

EDIT2: forse l'ho beccato. Ragionamento pulito: sto cercando un (solo) vettore in \( W \cap Z \). Allora vado alla cieca: per i vettori in \( W \cap Z \) dovra' esistere un set di valori \( \{ \alpha, \, \beta, \, \gamma, \, \delta \} \subset \mathbb{K} \) tali che
\[ \alpha \mathbf{w}_1 + \beta \mathbf{w}_2 = \gamma \mathbf{z}_1 + \delta \mathbf{z}_2 \]
con \( \mathbf{w}_i \) e \( \mathbf{z}_i \) i relativi vettori delle basi di \( W \) e di \( Z \).
Il tutto si riconduce quindi alla risoluzione di un sistema lineare
\[ \begin{cases} a + b = - \gamma - 2 \delta \\ \beta = 3 \delta \\ \alpha = 2 \gamma + \delta \end{cases} \]
A meno di conti errati, dovrei ottenere
\[ W \cap Z = \{ {\begin{bmatrix} -3 \delta & 3 \delta & -2 \delta & \delta \end{bmatrix}}^T \, : \, \forall \delta \in \mathbb{K} \} \]
In particolare, scegliendo \( \delta \equiv -1 \) si ha che \( W \cap Z \) e' lo spazio vettoriale costituito dai multipli di
\[ \begin{bmatrix} 3 \\ -3 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix} \]
Che dite?