[Teoria] Dimensione spazio vett. ; Applicazione lineare

[raker]

Ho l'orale di matematica discreta martedì e il prof. (credo sia l'unico che lo fa in tutta la facoltà, onore a lui ) ha pubblicato una 70ina di domande "guida" su cui poter studiare.

Su 70 una decina non riesco a farle tra cui in particolare queste due dove per me c'è buio quasi completo...
So che è una cosa brutta e cattiva chiederlo, mi potreste dire come rispondere? Purtroppo le dimostrazioni teoriche mi riescono difficili (farle, non capirle).

1) Saper dimostrare che uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) non puo' essere generato con
meno di \(n\) vettori e che presi comunque \(n+1\) vettori questi sono necessariamente linearmente dipendenti.

2) Saper spiegare perche se due applicazioni lineari \(T; S : V \rightarrow W\) coincidono su una base di \(V\) ,
allora sono uguali.

Grazie in anticipo.

[raker]

"Sergio":[quote="raker"]1) Saper dimostrare che uno spazio vettoriale di dimensione \(n\) non puo' essere generato con
meno di \(n\) vettori e che presi comunque \(n+1\) vettori questi sono necessariamente linearmente dipendenti.

Credo sia su qualsiasi testo di algebra lineare (c'è, almeno, su quelli che conosco io).[/quote]

infatti sono idiota perchè ce l'avevo sotto gli occhi per tutto il pome la dimostrazione. Purtroppo 10 ore di studio filato fanno anche questo

"Sergio":[quote="raker"]2) Saper spiegare perche se due applicazioni lineari \(T; S : V \rightarrow W\) coincidono su una base di \(V\) ,
allora sono uguali.

Qua non capisco bene cosa vuol dire "coincidere su una base di \(V\)". Se per caso volesse dire (unico senso che riesco a immaginare): se, fissata una base di \(V\) composta da vettori \(\mathbf{v}_i\), per ciascun \(i\) si ha \(T(\mathbf{v}_i)=S(\mathbf{v}_i)\), allora \(T,S\) hanno la stessa immagine, allora sarebbe quasi ovvio: le rispettive immagini avrebbere entrambe come generatori le immagini (comuni alle due applicazioni) degli elementi di quella base. Più formalmente, preso un qualsiasi vettore \(\mathbf{u}\in V\), la sua immagine per \(T\) sarebbe uguale a quella per \(S\) in quanto, per la linearità delle applicazioni e per l'ipotesi fatta:
\[T(\mathbf{u})=T(\sum_{i=1}^n \alpha_i\mathbf{v}_i)=S(\sum_{i=1}^n \alpha_i\mathbf{v}_i)=S(\mathbf{u})\][/quote]

La tua interpretazione è corretta, infatti era "ovvio" anche per me però il mio problema è che non riesco mai ad esprimere le cose "formalmente"
Ti ringrazio moltissimo!

[Joker911]

riuppo la discussione se è possibile.. Come si dimostra che uno spazio vettoriale di dimensione n non può esser generato con meno di n vettorI?