Iso o Monomorfismo?

[Spippol]

Ho un applicazione lineare f definita in R^2 del tipo (x+3y,-y)
Calolare la dimensione dell'immagine (dimIm f) la dimensione del nucleo (dimKer f) e stabilire se f è un isomorfismo!
Ho calcolato il determinante della matrice nella base canonica e mi viene -1, per cui il rango è 2. Da ciò deduco che la dimensione dell'immagine è 2!
La dimensione del nucleo è 0!
Ho un monomorfismo o un epimorfismo?!
Grazie per le eventuali risposte! L'ansia pre-esame gioca davvero brutti scherzi,

[Trilogy]

Ciao. Dovresti sapere che se hai un omomorfismo che applica uno spazio in uno spazio di uguale dimesione, l'omomorfismo è un monomorfismo se e solo se è un epimorfismo se e solo se è un isomorfismo.
Nel tuo caso, i due spazi hanno ugual dimensione perché sono lo stesso.
Quindi ti basta trovare che la dimensione dell'immagine è 2 per concludere che è epimorfismo e dunque isomorfismo!

Oppure, in generale, trovando solo che la dimensione del nucleo è 0, e passando per l'iniettività (perché la dimensione del ker è 0 se e solo se l'omomorfismo è iniettivo), puoi concludere (sempre se le dimensioni degli spazi di partenza e arrivo sono uguali) che si tratta di un isomorfismo!