Operazioni tra matrici
Sia $A=((-2,2),(3,-1)) in M^2(R)$ e siano $U$ e $W$ due sottospazi tali che : in $U$ = {$X in M^2(R) t.c. XA$ è simmetrica}
e $W$={$x in M^2(R) t.c. XA$ è diagonale}.
Sono nel pallone.. come posso procedere?? Io so che una matrice è simmetrica se sono simmetrici gli elementi rispetto alla diagonale principale e una matrice è diagonale se tutti gli elementi della che non sono appartenenti alla diagonale principale sono uguali a zero. Ora io avevo pensato di porre $X=((a,b),(c,d))$ fare il prodotto riga per colonna con la matrice $A$ ... e poi??? Nel caso di matrice simmetrica devo porre gli elementi di posto $a12$ e $a21$ uguali e risolvere il sistema? Solo che non saprei a cosa porre uguali gli elementi della diagonale principale... Grazie in anticipo a chi risponderà.
e $W$={$x in M^2(R) t.c. XA$ è diagonale}.
Sono nel pallone.. come posso procedere?? Io so che una matrice è simmetrica se sono simmetrici gli elementi rispetto alla diagonale principale e una matrice è diagonale se tutti gli elementi della che non sono appartenenti alla diagonale principale sono uguali a zero. Ora io avevo pensato di porre $X=((a,b),(c,d))$ fare il prodotto riga per colonna con la matrice $A$ ... e poi??? Nel caso di matrice simmetrica devo porre gli elementi di posto $a12$ e $a21$ uguali e risolvere il sistema? Solo che non saprei a cosa porre uguali gli elementi della diagonale principale... Grazie in anticipo a chi risponderà.
Risposte
Io ho fatto come hai detto. Con il prodotto righe per colonne, ponendo $X=( ( a , b ),( c , d ) ) $, si trova
$XA=( ( -2a+3b , 2a-b ),( -2c+3d , 2c-d ) ) $,
e qui lavori per entrambi i sottospazi. Per avere $U$, poni $2a-b=-2c+3d$, da cui $b=2a+2c-3d$.
Se sostituisci in $XA$, hai che la generica matrice di $U$ in forma parametrica è
$( ( 4a+6c-9d , -2c+3d ),( -2c+3d , 2c-d ) ) $.
Analogamente, per $W$ imponi che sia $2a-b=0$ e $-2c+3d=0$, da cui trovi la generica matrice $( ( 4a , 0 ),( 0 , 2d ) ) $.
Spero di non aver sbagliato, comunque non hai scritto cosa vuoi esattamente, quindi nel caso siamo pari (:
$XA=( ( -2a+3b , 2a-b ),( -2c+3d , 2c-d ) ) $,
e qui lavori per entrambi i sottospazi. Per avere $U$, poni $2a-b=-2c+3d$, da cui $b=2a+2c-3d$.
Se sostituisci in $XA$, hai che la generica matrice di $U$ in forma parametrica è
$( ( 4a+6c-9d , -2c+3d ),( -2c+3d , 2c-d ) ) $.
Analogamente, per $W$ imponi che sia $2a-b=0$ e $-2c+3d=0$, da cui trovi la generica matrice $( ( 4a , 0 ),( 0 , 2d ) ) $.
Spero di non aver sbagliato, comunque non hai scritto cosa vuoi esattamente, quindi nel caso siamo pari (:
Grazie sei stato molto chiaro ed hai scritto ciò che mi interessava sapere... Non ho scritto tutto il testo dell'esercizio perché chiedeva parecchie cose... Come ad esempio verificare che siano due sottospazi, verificare la dimensione di $U$ e $W$ ( che basta vedere quante sono le variabili libere, nel primo caso la dimensione è 3 e nel secondo 2). Però adesso che guardo l'esercizio mi è venuto un dubbio e spero tu mi possa aiutare. Successivamente mi viene chiesto di calcolare $UnnW$ , ecco solitamente quando un sottospazio vettoriale composto da semplici vettori o equazioni e non intere matrici, metto a sistema e trovo lo spazio delle soluzioni. Nel caso di due matrici.. come faccio ??? 
Perché una matrice appartenga all'intersezione deve appartenere ad entrambi i sottospazi. Osserviamo che la condizione che sia diagonale è sufficiente perché sia simmetrica, e quindi direi che l'intersezione è proprio uguale a $W$, se non prendo un granchio nella fretta (:
Si potrebbe avere un esempio pratico se è possibile gentilmente??
Un esempio, intendi, in cui si facciano dei calcoli?
Se sì, ad esempio puoi considerare i due sottospazi $U$ e $V$ di $M_2(R)$ tali che
$U={X in M_2(R) t.c. X=^tX}$ e
$V={X in M_2(R) t.c. X=-^tX}$,
cioè il sottospazio delle matrici simmetriche e quello delle matrici antisimmetriche.
Bene, per trovare $UnnV$ imponi che la matrice $A=( ( a , b ),( c , d ) )$ appartenga sia ad $U$ che a $V$.
E per farlo, scrivi un sistema del tutto analogo a quello che usi quando fai intersezioni di sottospazi i cui elementi sono n-uple.
Ottieni quindi
$\{(b=c),(a=-a),(b=-c),(d=-d):}$,
in cui con la prima equazione imponi l'appartenenza a $U$ e con le altre tre a $V$.
Risolvendo il sistema, hai che $a=b=c=d=0$, e quindi l'unica matrice che appartiene a $UnnV$ è la matrice nulla.
Spero di aver azzeccato il tipo di esempio che chiedevi..
Se sì, ad esempio puoi considerare i due sottospazi $U$ e $V$ di $M_2(R)$ tali che
$U={X in M_2(R) t.c. X=^tX}$ e
$V={X in M_2(R) t.c. X=-^tX}$,
cioè il sottospazio delle matrici simmetriche e quello delle matrici antisimmetriche.
Bene, per trovare $UnnV$ imponi che la matrice $A=( ( a , b ),( c , d ) )$ appartenga sia ad $U$ che a $V$.
E per farlo, scrivi un sistema del tutto analogo a quello che usi quando fai intersezioni di sottospazi i cui elementi sono n-uple.
Ottieni quindi
$\{(b=c),(a=-a),(b=-c),(d=-d):}$,
in cui con la prima equazione imponi l'appartenenza a $U$ e con le altre tre a $V$.
Risolvendo il sistema, hai che $a=b=c=d=0$, e quindi l'unica matrice che appartiene a $UnnV$ è la matrice nulla.
Spero di aver azzeccato il tipo di esempio che chiedevi..
Ma perdona la mia ignoranza ... ma tu ottieni $a=-a$ e $d=-d$ e poi anche le soluzioni di $b$ sono in contrasto tra di loro... come è possibile???
Ma non sono in contrasto..
Se $x in R$ e hai $x=-x$, allora $x=0$. Non c'è nessuna contraddizione.
Per quanto riguarda $a$ e $d$, sono uguali a "meno loro stessi" perché stanno sulla diagonale principale, e lo trovi "trasponendo" e imponendo l'antisimmetria.
Le condizioni su $b$ e $c$ le trovi analogamente imponendo la simmetria e l'antisimmetria.
Cioè, hai
$( ( a , b ),( c , d ) ) = ( ( a , c ),( b, d ) ) $, per la simmetria, e
$( ( a , b ),( c , d ) ) = ( ( -a , -c ),( -b, -d ) ) $ per l'antisimmetria.
E uguagli le "entrate"..
Se $x in R$ e hai $x=-x$, allora $x=0$. Non c'è nessuna contraddizione.
Per quanto riguarda $a$ e $d$, sono uguali a "meno loro stessi" perché stanno sulla diagonale principale, e lo trovi "trasponendo" e imponendo l'antisimmetria.
Le condizioni su $b$ e $c$ le trovi analogamente imponendo la simmetria e l'antisimmetria.
Cioè, hai
$( ( a , b ),( c , d ) ) = ( ( a , c ),( b, d ) ) $, per la simmetria, e
$( ( a , b ),( c , d ) ) = ( ( -a , -c ),( -b, -d ) ) $ per l'antisimmetria.
E uguagli le "entrate"..
Quindi nel mio caso dovrei fare nel seguente modo:
$((a,b),(c,d))=((4a+4b-4d,-2b+2d),(-2b+2d,3b-d))$
$((a,b),(c,d))=((4a,0),(0,2b))$ ed uguagliare le "entrate" ?????
$((a,b),(c,d))=((4a+4b-4d,-2b+2d),(-2b+2d,3b-d))$
$((a,b),(c,d))=((4a,0),(0,2b))$ ed uguagliare le "entrate" ?????
"Nik23":
Quindi nel mio caso dovrei fare nel seguente modo:
$((a,b),(c,d))=((4a+4b-4d,-2b+2d),(-2b+2d,3b-d))$
$((a,b),(c,d))=((4a,0),(0,2b))$ ed uguagliare le "entrate" ?????
e tra l'altro facendo in questo modo e mettendo a sistema... ottengo l'insieme vuoto.
No, nel tuo caso credo tu debba fare
$((4a,0),(0,2b))=((4a+4b-4d,-2b+2d),(-2b+2d,3b-d))$
Quello che credo tu ottenga è l'insieme il cui unico elemento è $((0,0),(0,0))$. E questo insieme non è vuoto.
$((4a,0),(0,2b))=((4a+4b-4d,-2b+2d),(-2b+2d,3b-d))$
Quello che credo tu ottenga è l'insieme il cui unico elemento è $((0,0),(0,0))$. E questo insieme non è vuoto.
Ma poi.. scusa, eh, ma anche se fosse stata giusta la coppia di equazioni che hai scritto.. Anche in quel caso $((0,0),(0,0))$ avrebbe costituito una soluzione, quindi non avresti ottenuto l'insieme vuoto!
Si hai ragione, e quindi ha dimensione 4 giusto????
Se mi stai prendendo in giro, ti ringrazio. NO. Uno spazio costituito dal solo "zero" ha per convenzione/definizione dimensione $0$.
No non ti sto prendendo in giro... non mi permetterei mai..Solo che siccome l'esercizio chiede altre cose come l'unione. Io ho utilizzato la relazione di grassmann per vedere quanto valgono le dimensioni, e l'unione mi veniva di dimensione 1 , lo spazio U=3 e W=2 quindi l'intersezione mi veniva 4. Io so che in quel caso la dimensione è zero però pensavo che fosse un caso particolare e che si potesse considerare cosi:
$UnnW= a((0,0),(0,0))+b((0,0),(0,0))+c((0,0),(0,0))+d((0,0),(0,0))$
$UnnW= a((0,0),(0,0))+b((0,0),(0,0))+c((0,0),(0,0))+d((0,0),(0,0))$
Ah. Che scemo, scusa tu!!! Ho letto male l'esercizio.. Cioè, ne ho letto un altro ): che figura da pirla, evvai..
Va bè figurati.. Tranquillo. Ma quindi ciò che ho detto io ha un filo di correttezza ??? 
Oppure è fantascienza ??
Oppure è fantascienza ??
Il tuo esercizio era sul sottospazio delle matrici simmetriche e quello delle matrici diagonali..
Come avevo detto prima, l'insieme delle matrici diagonali è un sottoinsieme di quello delle matrici simmetriche, e quindi l'unione è uguale all'insieme delle matrici simmetriche, e l'intersezione è uguale all'insieme delle matrici diagonali.
Come hai detto, $dimU=3$ e $dimW=2$.
E poiché $U+W=U$ e $UnnW=W$, hai anche
$dimU+W=3$ e $dimUnnW=2$
Come avevo detto prima, l'insieme delle matrici diagonali è un sottoinsieme di quello delle matrici simmetriche, e quindi l'unione è uguale all'insieme delle matrici simmetriche, e l'intersezione è uguale all'insieme delle matrici diagonali.
Come hai detto, $dimU=3$ e $dimW=2$.
E poiché $U+W=U$ e $UnnW=W$, hai anche
$dimU+W=3$ e $dimUnnW=2$
Partendo dal presupposto che mi hai convinto xD cioè adesso ho capito cosa volevi dire.. ti volevo proporre il metodo che avevo utilizzato io per calcolarmi l'unione dei due sottospazi:
Mi scrivo le basi dei due sottospazi
$U=a((4,0),(0,0))+b((4,-2),(-2,3))+d((-4,2),(2,-1))$
$W=a((4,0),(0,0))+b((0,0),(0,2))$
per calcolare l'unione faccio questa matrice:
$UuuW=((4,0,0,0),(4,-2,-2,3),(-4,2,2,-1),(4,0,0,0),(0,0,0,2))$ come puoi vedere la prima e la terza riga sono $L.D$ quindi una la posso escludere, e dopo avere eseguito la riduzione di Gauss ottengo la seguente matrice:
$UuuW=((4,0,0,0),(0,-2,-2,3),(0,0,0,2))$ che ha Rango=3 quindi la dimensione mi risulta essere uguale a 1... è un procedimento sbagliato il mio ?????
Mi scrivo le basi dei due sottospazi
$U=a((4,0),(0,0))+b((4,-2),(-2,3))+d((-4,2),(2,-1))$
$W=a((4,0),(0,0))+b((0,0),(0,2))$
per calcolare l'unione faccio questa matrice:
$UuuW=((4,0,0,0),(4,-2,-2,3),(-4,2,2,-1),(4,0,0,0),(0,0,0,2))$ come puoi vedere la prima e la terza riga sono $L.D$ quindi una la posso escludere, e dopo avere eseguito la riduzione di Gauss ottengo la seguente matrice:
$UuuW=((4,0,0,0),(0,-2,-2,3),(0,0,0,2))$ che ha Rango=3 quindi la dimensione mi risulta essere uguale a 1... è un procedimento sbagliato il mio ?????
Scusa, ma se hai trovato che il Rango è 3, tre vettori sono linearmente indipendenti, e quindi la dimensione è 3..
Comunque anch'io faccio spesso così!
Comunque anch'io faccio spesso così!
Ma la dimensione dell'immagine è uguale al rango .. La dimensione del nucleo è il numero di colonne meno il rango..
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