Dimensione dell'immagine di un' app. lineare.
'giorno a tutti.
Ho un altro esercizio sulle applicazioni lineari. Non è difficile, credo, ma vorrei comunque sapere di star facendo giusto.
Sia f: R4 --> R5 un'applicazione lineare non nulla tale che:
$ f((1),(1),(1),(0))=f((1),(0),(1),(1))=f((2),(1),(2),(1))=f((0),(0),(0),(7)) $
Trovare la dimensione dell'immagine.
Si vede a occhio che f(v1)+f(v2)=f(v3) e dunque se f(v1)+f(v2)=f(v1)=f(v2), dobbiamo concludere che tutti e quattro le immagini sono nulle e che dunque i quattro vettori sono nel Ker.
Inoltre, proprio perchè v1+v2=v3, dobbiamo levarne uno e ci ritroviamo quindi con un Ker di dimensione 3 (per sicurezza già che c'ero ho controllato con il determinante che non fosse minore di 3: a volte l'occhio inganna).
Ora se la dimensione totale è 5 (siamo in R5) e la dimensione del ker è 3, l'esercizio è presto concluso dicendo che la dimensione dell'immagine è 2.
Ora,
a) sto diventando bravo
b) era una cagata l'esercizio
c) ho sbagliato tutto
d) a $ nn $ b
e) b $nn$ c
Attendo conferme
Grazie!
Ho un altro esercizio sulle applicazioni lineari. Non è difficile, credo, ma vorrei comunque sapere di star facendo giusto.
Sia f: R4 --> R5 un'applicazione lineare non nulla tale che:
$ f((1),(1),(1),(0))=f((1),(0),(1),(1))=f((2),(1),(2),(1))=f((0),(0),(0),(7)) $
Trovare la dimensione dell'immagine.
Si vede a occhio che f(v1)+f(v2)=f(v3) e dunque se f(v1)+f(v2)=f(v1)=f(v2), dobbiamo concludere che tutti e quattro le immagini sono nulle e che dunque i quattro vettori sono nel Ker.
Inoltre, proprio perchè v1+v2=v3, dobbiamo levarne uno e ci ritroviamo quindi con un Ker di dimensione 3 (per sicurezza già che c'ero ho controllato con il determinante che non fosse minore di 3: a volte l'occhio inganna).
Ora se la dimensione totale è 5 (siamo in R5) e la dimensione del ker è 3, l'esercizio è presto concluso dicendo che la dimensione dell'immagine è 2.
Ora,
a) sto diventando bravo
b) era una cagata l'esercizio
c) ho sbagliato tutto
d) a $ nn $ b
e) b $nn$ c
Attendo conferme
Grazie!
Risposte
Si, mi sembra corretto
"pollo93":
Ora se la dimensione totale è 5 (siamo in R5) e la dimensione del ker è 3, l'esercizio è presto concluso dicendo che la dimensione dell'immagine è 2.
Occhio; nullità più rango dice che...
nullità+rango=numero colonne che non è 5, ma 4. Quindi la dimensione delle immagini è 1.
"pollo93":
nullità+rango=numero colonne
Alla fine, si.
Comunque il teorema nullita' piu' rango nella formulazione tradizionale che si trova sui libri di scuola dovrebbe essere: presa un'applicazione lineare \( T: V \to W \) vale
\[ \operatorname{dim}(V) = \operatorname{dim}\operatorname{ker}(T) + \operatorname{dim}\operatorname{Im}(T) \]
Quello che sbagliavamo era che \( V \equiv \mathbb{R}^4 \), e non \( \mathbb{R}^5 \). Quindi, dato che come hai gia' osservato la nullita' di \( T \) e' \( 3 \), si ha effettivamente
\[ \operatorname{dim}\operatorname{Im}(T) = \operatorname{dim}(V) - \operatorname{dim}\operatorname{ker}(T) = 4 - 3 \]
Ok, speriamo di non fare questo tipo di errori...
Grazie mille a entrambi...
Grazie mille a entrambi...
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