Matrice invertibile ed autovalori... metodo non compreso.
Ciao a tutti, stavo guardando un po' le prove d'esame del mio professore di Algebra Lineare, alcune prove hanno la soluzione. Però c'è un procedimento del mio prof che non ho capito. Aiutatemi per favore. Sto metodo mi risparmia un calcolo.
il testo era
Sia $ A=( ( 0 , 4 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ) ) $ e sia $f:L_A : RR^4\to RR^4$, $X\to AX$.
Esprimere esplicitamente f in coordinate, quindi determinarne il rango e stabilire se f e invertibile.
poi va bé c'erano delle altre richieste, ma per le altre sono a posto.
Ecco, come avrei fatto io l'esercizio. Per vedere se la $f$ era invertibile mi sarei calcolato il $det A$ ed avrei visto se era diverso da 0. Ovviamente avrei usato il metodo di Laplace.
Invece la soluzione del mio prof
Il mio prof si è calcolato gli autovalori della matrice (era nella seconda richiesta), ma poi dice subito sta cosa
"In particolare, lo 0 non è un autovalore, quindi la matrice è invertibile"
Ok ora io chiesto, perchè una matrice invertibile deve avere l'autovalore $\lambda \ne 0$ ? Io ripeto che avrei calcolato il determinante della matrice ed avrei visto se era diverso da 0
il testo era
Sia $ A=( ( 0 , 4 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 ),( 0 , 0 , 0 , 3 ),( 0 , 0 , 3 , 0 ) ) $ e sia $f:L_A : RR^4\to RR^4$, $X\to AX$.
Esprimere esplicitamente f in coordinate, quindi determinarne il rango e stabilire se f e invertibile.
poi va bé c'erano delle altre richieste, ma per le altre sono a posto.
Ecco, come avrei fatto io l'esercizio. Per vedere se la $f$ era invertibile mi sarei calcolato il $det A$ ed avrei visto se era diverso da 0. Ovviamente avrei usato il metodo di Laplace.
Invece la soluzione del mio prof
Il mio prof si è calcolato gli autovalori della matrice (era nella seconda richiesta), ma poi dice subito sta cosa
"In particolare, lo 0 non è un autovalore, quindi la matrice è invertibile"
Ok ora io chiesto, perchè una matrice invertibile deve avere l'autovalore $\lambda \ne 0$ ? Io ripeto che avrei calcolato il determinante della matrice ed avrei visto se era diverso da 0
Risposte
E' sufficiente ricordare l'equazione caratteristica che è del tipo :
$(-1)^n lambda^n+R lambda^{n-1}+S lambda^{n-2}+...+U lambda +det (A)=0$
Da essa si vede chiaramente che se è $det(A)=0$ una delle radici dell'equazione è nulla: $lambda =0$
Viceversa se una delle radici dell'equazione è nulla, ovvero se uno degli autovalori è nullo, allora è $det (A)=0$
E dunque l'invertibilità è assicurata se nessuna radice dell'equazione caratteristica è nulla.
$(-1)^n lambda^n+R lambda^{n-1}+S lambda^{n-2}+...+U lambda +det (A)=0$
Da essa si vede chiaramente che se è $det(A)=0$ una delle radici dell'equazione è nulla: $lambda =0$
Viceversa se una delle radici dell'equazione è nulla, ovvero se uno degli autovalori è nullo, allora è $det (A)=0$
E dunque l'invertibilità è assicurata se nessuna radice dell'equazione caratteristica è nulla.
"21zuclo":
Ok ora io chiesto, perchè una matrice invertibile deve avere l'autovalore $\lambda \ne 0$ ?
Cosi', a naso ...il fatto che una matrice abbia fra gli autovalori il numeretto \( \lambda \) non significa che esiste tutto un insieme di vettori non nulli che se dati in pasto alla matrice vengono mutati in loro stessi ma allungati (o accorciati) di \( \lambda \)?
Quindi, se la matrice non ha come autovalore lo \( 0 \) significa che la matrice non fa paura a nessuno (i.e. nessun vettore viene annichilito). Quindi nessun vettore viene mandato nello \( 0 \) dello spazio d'arrivo (a parte, poveretto, lo zero che e' costretto ogni volta).
Cioe', giusto per usare un po' LaTeX:
\[ \operatorname{dim}\ker{L_A} = 0 \]
Per il primo teorema d'isomorfismo (nullita' piu' rango?) dovresti avere
\[ 4 \equiv \operatorname{dim}(\mathbb{R}^4) = 0 + \operatorname{dim}(\operatorname{Im}(L_A)) \]
In altre parole \( L_A \) e' a pieno diritto un isomorfismo. Dovrebbe essere piuttosto semplice --forse-- dimostrare che questo implica che \( A \) sia invertibile.
Concordo: se non c'è lo zero tra gli autovalori il nucleo si riduce al solo $ {0} $
"ciromario":
E' sufficiente ricordare l'equazione caratteristica che è del tipo :
$(-1)^n lambda^n+R lambda^{n-1}+S lambda^{n-2}+...+U lambda +det (A)=0$
Da essa si vede chiaramente che se è $det(A)=0$ una delle radici dell'equazione è nulla: $lambda =0$
Viceversa se una delle radici dell'equazione è nulla, ovvero se uno degli autovalori è nullo, allora è $det (A)=0$
E dunque l'invertibilità è assicurata se nessuna radice dell'equazione caratteristica è nulla.
in un libro vecchio che ho, c'era scritto questo teorema $det A= \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \cdot \cdot \lambda_n$
ove gli $\lambda_ i$ con $i=1,....,n$ sono autovalori
se già un autovalore $\lambda=0$ si ha $det A=0$ e questo è impossibile per fare che la matrice sia intertibile.
Esatto? È questa anche la logica che hai usato?
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