Esercizio su nucleo, immagine ed endomorfismi
Ho bisogno del vostro aiuto per questo esercizio:
[size=85]Sia $f: RR^4 \to RR^4$ definita mediante le relazioni:
$f(1,1,2,1)=(4h+2, h+6, 8, 7)$
$f(1,1,1,1)=(3h+3, h+6, 6, 7)$
$f(0,1,1,1)=(2h+2, h+6, 6, 7)$
$f(0,0,0,1)=(h, 5, 4, 7)$
con $h in RR$
1) Studiare f al variare di h, determinando per ogni valore Imf, Kerf, le equazioni e le basi che li caratterizzano.
2) Siano assegnati i vettori $w_1=(1,0,1,0)$ e $w_2=(0,1,0,1)$, $in RR^4$ e il sottospazio $V=L(w_1, w_2)$. Determinare se esiste un valore di $h in RR$ per cui $f: V \to RR^4$ definisce un endomorfismo, in tal caso dire se è semplice.[/size]
Ho provato a svolgere il primo punto ma ho ancora molti dubbi:
$((4h+2,3h+3,2h+2,h),(h+6,h+6,h+6,5),(8,6,6,4),(7,7,7,7))$
$C_2 \to C_2-C_3$
$((4h+2,h+1,2h+2,h),(h+6,0,h+6,5),(8,0,6,4),(7,0,7,7))$
$det= (h+1)|(h+6,h+6,5),(8,6,4),(7,7,7)|= -14(h+1)^2$
quindi se $h=-1$
$((2,0,0,-1),(5,5,5,5),(8,6,6,4),(7,7,7,7))$
studiamo Imf attraverso la riduzione per colonne:
$C_3 \toC_3-C_2, C_1 \toC_1-C_4, C_4 \toC_4-C_2$
$((-1,0,0,-1),(0,5,0,0),(4,6,0,2),(0,7,0,0))$
e si ottiene $Imf=L($$(-1,0,4,0),(0,5,6,7),(-1,0,2,0))$
[size=85](le equazioni di Imf come si trovano?)[/size]
Per il nucleo riduciamo la matrice per righe:
$R_4 \toR_4-7/5R_2, R_3 \toR_3+R_1-R_2$
$((-2,0,0,-1),(5,5,5,5),(1,1,1,-2),(0,0,0,0))$
da cui $\{(-2x-t=0),(x+y+z+t=0),(x+y+z-2t=0):}$ $rArr \{(t=0),(y=-z),(x=0):}$
quindi $Kerf=L($ $(0,1,-1,0))$ e $Kerf={(0,y,-y,0)|y in RR}$
Se invece $h!=-1$, operando come sopra:
Imf: $C_2\to C_2-C_3, C_1\to C_1-C_3, C_3\to C_3-C_4$ $((2h,h+1,h+2,h),(0,0,h+1,5),(2,0,2,4),(0,0,0,7))$
$Imf=L($$(2h,0,2,0),(h+1,0,0,0),(h+2,h+1,2,0),(h,5,4,7))$
il calcolo di Kerf lo salto, è evidente che risulta $Kerf=(0,0,0,0)$
[size=85](è svolto nel modo giusto?)[/size]
Il secondo punto non l'ho capito... mi aiutate a impostarlo?
[size=85]Sia $f: RR^4 \to RR^4$ definita mediante le relazioni:
$f(1,1,2,1)=(4h+2, h+6, 8, 7)$
$f(1,1,1,1)=(3h+3, h+6, 6, 7)$
$f(0,1,1,1)=(2h+2, h+6, 6, 7)$
$f(0,0,0,1)=(h, 5, 4, 7)$
con $h in RR$
1) Studiare f al variare di h, determinando per ogni valore Imf, Kerf, le equazioni e le basi che li caratterizzano.
2) Siano assegnati i vettori $w_1=(1,0,1,0)$ e $w_2=(0,1,0,1)$, $in RR^4$ e il sottospazio $V=L(w_1, w_2)$. Determinare se esiste un valore di $h in RR$ per cui $f: V \to RR^4$ definisce un endomorfismo, in tal caso dire se è semplice.[/size]
Ho provato a svolgere il primo punto ma ho ancora molti dubbi:
$((4h+2,3h+3,2h+2,h),(h+6,h+6,h+6,5),(8,6,6,4),(7,7,7,7))$
$C_2 \to C_2-C_3$
$((4h+2,h+1,2h+2,h),(h+6,0,h+6,5),(8,0,6,4),(7,0,7,7))$
$det= (h+1)|(h+6,h+6,5),(8,6,4),(7,7,7)|= -14(h+1)^2$
quindi se $h=-1$
$((2,0,0,-1),(5,5,5,5),(8,6,6,4),(7,7,7,7))$
studiamo Imf attraverso la riduzione per colonne:
$C_3 \toC_3-C_2, C_1 \toC_1-C_4, C_4 \toC_4-C_2$
$((-1,0,0,-1),(0,5,0,0),(4,6,0,2),(0,7,0,0))$
e si ottiene $Imf=L($$(-1,0,4,0),(0,5,6,7),(-1,0,2,0))$
[size=85](le equazioni di Imf come si trovano?)[/size]
Per il nucleo riduciamo la matrice per righe:
$R_4 \toR_4-7/5R_2, R_3 \toR_3+R_1-R_2$
$((-2,0,0,-1),(5,5,5,5),(1,1,1,-2),(0,0,0,0))$
da cui $\{(-2x-t=0),(x+y+z+t=0),(x+y+z-2t=0):}$ $rArr \{(t=0),(y=-z),(x=0):}$
quindi $Kerf=L($ $(0,1,-1,0))$ e $Kerf={(0,y,-y,0)|y in RR}$
Se invece $h!=-1$, operando come sopra:
Imf: $C_2\to C_2-C_3, C_1\to C_1-C_3, C_3\to C_3-C_4$ $((2h,h+1,h+2,h),(0,0,h+1,5),(2,0,2,4),(0,0,0,7))$
$Imf=L($$(2h,0,2,0),(h+1,0,0,0),(h+2,h+1,2,0),(h,5,4,7))$
il calcolo di Kerf lo salto, è evidente che risulta $Kerf=(0,0,0,0)$
[size=85](è svolto nel modo giusto?)[/size]
Il secondo punto non l'ho capito... mi aiutate a impostarlo?
Risposte
22 visite e nessuno che mi voglia aiutare? 
ma è un esercizio troppo difficile e non lo sa fare nessuno o è così facile che non vi sembra neanche il caso di degnarmi di una risposta?
Non ho svolto i conti, ma l'esercizio sembra bene impostato. Per il punto 2, ammetto di non aver capito bene cosa chiede...ti dà due vettori, prende il sottospazio da essi generato, ma poi il parametro h è quello del punto precedente? Per l'esistenza dell'applicazione lineare abbiamo un teorema di esistenza e unicità, io tenterei di applicare quello 
grazie Guido per avermi risposto, per la seconda parte non capisco nemmeno io cosa voglia dire, il parametro h dovrebbe essere quello del punto precedente, ma non capisco proprio da dove partire... come dovrei applicare il teorema?
In V ci sono solo due vettori, devo completare io aggiungendo altri 2 vettori?
In V ci sono solo due vettori, devo completare io aggiungendo altri 2 vettori?
Da quale libro è tratto l'esercizio? La traccia è davvero poco chiara, parla di endomorfismi tra V ed $ R^4 $ , ma un endomorfismo non dovrebbe essere definito da V a V ? I due vettori $ w{::}_ 1 $ e $ w{::}_ 2 $ sono linearmente indipendenti, quindi l'applicazione lineare da V a $ R^4 $ esiste ed è unica, per qualsiasi valore di h e per qualsiasi n-pla di $ R^4 $.
"Guido Rocco":
Da quale libro è tratto l'esercizio?
non lo so, è un eserzio assegnato per un esame dal mio professore.
"Guido Rocco":
La traccia è davvero poco chiara, parla di endomorfismi tra V ed R4 , ma un endomorfismo non dovrebbe essere definito da V a V ?
si... non riesco proprio a capire cosa chieda questo esercizio
Prova a chiedere spiegazioni al professore poi semmai facci sapere cosa intendeva dire
poi semmai facci sapere cosa intendeva dire
grazie comunque Guido.
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