Esercizio..trovare base e dimensione.. dove sbaglio?
Ciao a tutti, sto facendo esercizi su basi e dimensioni. Ma in questo esercizio non mi trovo con il risultato. Aiutatemi a capire cosa c'è di sbagliato. Grazie in anticipo.
In $RR^3$ siano $S$ e $T$ i sottospazi generati rispettivamente $vec(s_1)=((1),(2),(0)), vec(s_2)=((2),(-1),(0))$
e $\vec(t_1)=((0),(0),(1)), vec(t_2)=((0),(-1),(1))$. Determinare la dimensione e una base per $S\cap T$
ho provato a svolgere così
$S=Span\{((-1),(2),(0)); ((2),(-1),(0))\}$
e poichè i vettori $vec(s_1), vec(s_2)$ sono linearmente indipendenti.. $S$ è una base per $RR^3$ e $dim S =2$
stessa cosa per $T$
$T=Span\{((0),(0),(1)); ((0),(-1),(1))\}$,
è anch'essa una base, i loro vettori sono linearmente indipendenti e $dim T=2$
Ora mi determino la dimensione di $dim (S+T)$
ecco $S+T=Span\{((-1),(2),(0)); ((2),(-1),(0)); ((0),(0),(1)); ((0),(-1),(1))\}$
ho 4 vettori in $RR^3$, uno lo scarto!.. e quindi $dim(S+T)=3$
Ora utilizzando la formula di Grassman
$V=S+T \to dim V=dim S+dim T- dim (S\cap T)$
$\to dim (S\cap T)=dim S +dim T - dim V$
quindi si ha $dim(S \cap T)= 2+2-3=1$. La somma NON è diretta,
cerco una base per $S\cap T$
$ { ( ul(x) =a vec(s_1)+b vec(s_2) ),( ul(x)=\alpha vec(t_1)+\beta vec(t_2) ):} \to$
$\to $ $ a( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) )+b( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) -\alpha( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) -\beta( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )=ul(0) $
metto a sistema e ottengo infine
$ { ( a=-2b ),( \alpha=5b ),( \beta=-5b ):}\to ul(x)=-2bvec(s_1)+b\vec(s_2)=b(-2\vec(s_1)+\vec(s_2)), \forall b\in RR $
ecco per $b=1$ si ha $-2((1),(2),(0))+((2),(-1),(0))=((0),(-5),(0))$
dunque la base di $S\cap T= ((0),(-5),(0))$
Ma la soluzione dice che dovrebbe essere $((0),(1),(0))$. Dove ho sbagliato?
In $RR^3$ siano $S$ e $T$ i sottospazi generati rispettivamente $vec(s_1)=((1),(2),(0)), vec(s_2)=((2),(-1),(0))$
e $\vec(t_1)=((0),(0),(1)), vec(t_2)=((0),(-1),(1))$. Determinare la dimensione e una base per $S\cap T$
ho provato a svolgere così
$S=Span\{((-1),(2),(0)); ((2),(-1),(0))\}$
e poichè i vettori $vec(s_1), vec(s_2)$ sono linearmente indipendenti.. $S$ è una base per $RR^3$ e $dim S =2$
stessa cosa per $T$
$T=Span\{((0),(0),(1)); ((0),(-1),(1))\}$,
è anch'essa una base, i loro vettori sono linearmente indipendenti e $dim T=2$
Ora mi determino la dimensione di $dim (S+T)$
ecco $S+T=Span\{((-1),(2),(0)); ((2),(-1),(0)); ((0),(0),(1)); ((0),(-1),(1))\}$
ho 4 vettori in $RR^3$, uno lo scarto!.. e quindi $dim(S+T)=3$
Ora utilizzando la formula di Grassman
$V=S+T \to dim V=dim S+dim T- dim (S\cap T)$
$\to dim (S\cap T)=dim S +dim T - dim V$
quindi si ha $dim(S \cap T)= 2+2-3=1$. La somma NON è diretta,
cerco una base per $S\cap T$
$ { ( ul(x) =a vec(s_1)+b vec(s_2) ),( ul(x)=\alpha vec(t_1)+\beta vec(t_2) ):} \to$
$\to $ $ a( ( 1 ),( 2 ),( 0 ) )+b( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) -\alpha( ( 0 ),( 0 ),( 1 ) ) -\beta( ( 0 ),( -1 ),( 1 ) )=ul(0) $
metto a sistema e ottengo infine
$ { ( a=-2b ),( \alpha=5b ),( \beta=-5b ):}\to ul(x)=-2bvec(s_1)+b\vec(s_2)=b(-2\vec(s_1)+\vec(s_2)), \forall b\in RR $
ecco per $b=1$ si ha $-2((1),(2),(0))+((2),(-1),(0))=((0),(-5),(0))$
dunque la base di $S\cap T= ((0),(-5),(0))$
Ma la soluzione dice che dovrebbe essere $((0),(1),(0))$. Dove ho sbagliato?
Risposte
"21zuclo":
metto a sistema e ottengo infine
$ { ( a=-2b ),( \alpha=5b ),( \beta=-5b ):}\to ul(x)=-2bvec(s_1)+5b\vec(s_2)=b(-2\vec(s_1)+5\vec(s_2)), \forall b\in RR $
qui
se il sistema è giusto allora $ul(x)=-2bvec(s_1)+b\vec(s_2)$
ah scusa hai corretto gia
beh non hai sbagliato niente...infatti $(0,-5,0) in Span{(0,1,0)}$
beh non hai sbagliato niente...infatti $(0,-5,0) in Span{(0,1,0)}$
"Benihime":
ah scusa hai corretto gia
beh non hai sbagliato niente...infatti $(0,-5,0) in Span{(0,1,0)}$
sì avevo poi corretto!
Comunque allora $((0),(-5),(0))\in Span\{((0),(1),(0))\}$
perchè uno è multiplo dell'altro esatto? cioè sono proporzionali..esatto?
Quindi potevo concludere dicendo che una base di $S\cap T$ è $((0),(-5),(0))$ ?
"21zuclo":
Comunque allora $((0),(-5),(0))\in Span\{((0),(1),(0))\}$
perchè uno è multiplo dell'altro esatto? cioè sono proporzionali..esatto?
si esattamente
"21zuclo":
Quindi potevo concludere dicendo che una base di $S\cap T$ è $((0),(-5),(0))$ ?
certamente...cosa vuol dire che ${((0),(1),(0))\}$ è una base? vuol dire che tutti i vettori in $S\cap T$ sono del tipo $\alpha((0),(1),(0))$ con $\alpha in RR$
ora:se dico che $((0),(-5),(0))$ è una base,dico che tutti i vettori in $S\cap T$ sono del tipo $\beta((0),(-5),(0))$ con $\beta in RR$
ma $\beta((0),(-5),(0))=-5\beta((0),(1),(0))=\alpha((0),(1),(0))$
Riuppo per non aprire un altro topic dato che il dubbio è abbastanza simile.
Devo trovare una base e la dimensione di $W$ che è l'insieme delle soluzioni dell'equazione $x - y + z - t = 0$.
Ho agito così:
$x - y + z - t = 0$
$x = y - z + t$
Per proprietà:
$dim W = dim RR^4 - 1$ $= 3$
Quell'$1$ indica il numero di equazioni omogenee linearmente indipendenti. Poi ho proseguito così:
$[(y - z + t),(y),(z),(t)] = [(1),(1),(0),(0)]*y + [(-1),(),(1),(0)]*y + [(1),(0),(0),(1)]*t$
Questo è un sistema di generatori di $W$, quindi è una base la cui dimensione è $3$. In accordo con la proprietà precedente.
Tutto giusto?
Devo trovare una base e la dimensione di $W$ che è l'insieme delle soluzioni dell'equazione $x - y + z - t = 0$.
Ho agito così:
$x - y + z - t = 0$
$x = y - z + t$
Per proprietà:
$dim W = dim RR^4 - 1$ $= 3$
Quell'$1$ indica il numero di equazioni omogenee linearmente indipendenti. Poi ho proseguito così:
$[(y - z + t),(y),(z),(t)] = [(1),(1),(0),(0)]*y + [(-1),(),(1),(0)]*y + [(1),(0),(0),(1)]*t$
Questo è un sistema di generatori di $W$, quindi è una base la cui dimensione è $3$. In accordo con la proprietà precedente.
Tutto giusto?
si corretto
Bene così, grazie Benihime!
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