Base per nucleo e immagine
Salve a tutti.
Data la seguente matrice 4x4:
\(\displaystyle 1 1 0 0\\
0100\\
0022\\
0002 \)
Devo trovare una base per nucleo e immagine.
Dato che l'immagine è =4 e il nucleo è =0,esiste comunque una base per il nucleo?
Gli autovalori di tale matrice sono λ1=λ2=1 λ3=λ4=2
Per quanto riguarda la base dell'immagine posso utilizzare una di quelle relative ad un autovalore?
Data la seguente matrice 4x4:
\(\displaystyle 1 1 0 0\\
0100\\
0022\\
0002 \)
Devo trovare una base per nucleo e immagine.
Dato che l'immagine è =4 e il nucleo è =0,esiste comunque una base per il nucleo?
Gli autovalori di tale matrice sono λ1=λ2=1 λ3=λ4=2
Per quanto riguarda la base dell'immagine posso utilizzare una di quelle relative ad un autovalore?
Risposte
La "matrice" che hai scritto è associata ad un omomorfismo per mezzo di qualche base..?!
Non è per sembrare fastidioso, ma se scrivi tutto meglio hai maggiori speranze di ricevere risposte.
Comunque se hai trovato che la dimensione dell'immagine è $4$, allora non hai bisogno di una base particolare, visto che per $R^4$ hai la base canonica! (E l'immagine è uguale a $R^4$)..
E per il dubbio sull'esistenza della base del sottospazio vettoriale costituito dal solo $0_(R^4)$, mi associo! Io direi che delle due condizioni perché una base sia una base, non è soddisfatta quella che il vettore $0_(R^4)$ sia linearmente indipendente.
Infatti in $a 0_(R^4)=0_(R^4)$, $a$ può essere qualunque numero reale e non solo $0$.. Ma qui è meglio andarci cauti..
Non è per sembrare fastidioso, ma se scrivi tutto meglio hai maggiori speranze di ricevere risposte.
Comunque se hai trovato che la dimensione dell'immagine è $4$, allora non hai bisogno di una base particolare, visto che per $R^4$ hai la base canonica! (E l'immagine è uguale a $R^4$)..
E per il dubbio sull'esistenza della base del sottospazio vettoriale costituito dal solo $0_(R^4)$, mi associo! Io direi che delle due condizioni perché una base sia una base, non è soddisfatta quella che il vettore $0_(R^4)$ sia linearmente indipendente.
Infatti in $a 0_(R^4)=0_(R^4)$, $a$ può essere qualunque numero reale e non solo $0$.. Ma qui è meglio andarci cauti..
hai ragione,purtroppo non so proprio come impostarlo.
Comunque non è associato a nessun omomorfismo.
Qualcun altro può aiutarmi?
Comunque non è associato a nessun omomorfismo.
Qualcun altro può aiutarmi?
"minato91":
Devo trovare una base per nucleo e immagine.
Dato che l'immagine è =4 e il nucleo è =0,esiste comunque una base per il nucleo?
L'immagine e' \( 4 \)? Cioe'? Forse intendi la dimensione dell'immagine ...
In tal caso, si; anche secondo me --sempre se quella e' la matrice associata all'applicazione prodottopermatrice* con base canonica di \( \mathbb{R}^4 \) fissata in partenza e in arrivo. Lo vedi subito: il determinante lo si calcola ad occhio, ed e' non nullo. Con il primo teorema di isomorfismo hai che la dimensione del nucleo dell'applicazione suddetta e' \( 0 \).
Una base dello spazio immagine e' dato dalle quattro colonne della matrice; una del nucleo ...be', lo \( \mathbf{0} \) se vuoi --`genera' tutto lo spazio ed essendo l'unico vettore in gioco non c'e' nemmeno da discutere l'indipendenza lineare.
si scusa,intendevo la dimensione dell'immagine.
Credo di aver capito.
Un'altra cosa,come faccio a dire quali sono la dimensione minima e quella massima che può avere un autospazio(per ogni autovalore)?
Credo di aver capito.
Un'altra cosa,come faccio a dire quali sono la dimensione minima e quella massima che può avere un autospazio(per ogni autovalore)?
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