Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve io mi stavo dedicando al capito di geometria nello spazio e arrivando più o meno a metà capitolo mi sono rimasti 3 esercizi che non sono assolutamente riuscito a fare in quanto tutte le mie prove mi hanno portato a risultati diversi da quelli effettivi.
1)Tra tutte le sfere tangenti al piano π : x+y+z-2=0 nel punto B = (1,-1,2) determinare quelle tangenti alla sfera ∑ : $ x^2+y^2+z^2=16 $
2)Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza determinata come intersezione di ∑ : ...
Determinare, tra tutti i cilindri a diagonale costante, quello con il miglior rapporto diametro-altezza che da origine al volume maggiore.
Riuscite a fare delle previsioni sul rapporto senza dover sfruttare i concetti di derivata?
Attenzione, su questo punto si sbagliò pure Keplero
ciao a tutti,
ho uno spazio vettoriale normato $V$, la norma induce una distanza che a sua volta induce una topologia metrica; ho quindi che è possibile definire una topologia sul mio spazio vettoriale.
detto ciò, vorrei verificare che rispetto a questa topologia le operazioni di somma di vettori e di prodotto per scalare sono continue (ho letto la definizione di spazio vettoriale topologico su wikipedia ).
cominciamo con la somma
$+:V times V to V$
la topologia su ...
Salve a tutti,
ripassavo alcuni concetti dal mio testo di algebra, "Corso di Geometria" di Marius Stoka, e mi sono soffermato a capire meglio il concetto di determinante caratteristico.. anzi non l'ho capito proprio e vorrei una qualche delucidazione... E' citato in merito al teorema di Rouchè Capelli, ovvero "un sistema lineare è compatibile se e solo se tutti i suoi determinanti caratteristici sono nulli"... Ringrazio anticipatamente!!
Cordiali saluti
Ragazzi, vorrei chiedervi una mano a capire quest'esercizio.
Ho uno spazio vettoriale $W(h)$ che con $h=0$ ha come base ${(1,0,0,1)(0,1,0,1)(0,0,0,1)}$,quindi $W(0)={(x,y,z,t)inRR^4 | z=0}$.
Ho uno spazio $=U<(0,2,-1,2),(0,0,1,1)>$. Quindi $U={\bar v in RR^4 | a(0,2,-1,2)+b(0,0,1,1) = (0,2a,-a+b,2a+b), a,b in RR^3}$
La soluzione dell'esercizio dice che quindi i vettori di $W(0) nn U$ sono i vettori $(x,y,z,t)$ di $U$ tali che $a=b$, dunque $W(0) nn U=<(0,2,0,1)>$.
Per quale motivo l'intersezione è il vettore $(0,2,0,1)$ ? Io ...
Se una matrice è diagonalizzabile, allora possiede una base di autovettori. Per esporre un mio dubbio riprendo la dimostrazione di questa affermazione.
Poiché A, per ipotesi, è diagonalizzabile, esistono una matrice D diagonale e una matrice P tali che $D=P^(−1)AP$, quindi $PD = AP$.
Sia $P=(p_(ij))$. Scrivendo esplicitamente i due prodotti PD e AP ottengo:
$Ap^((i))=d_ip^((i))$ per ogni i. Per definizione di autovettore, le colonne $p^((i))$ sono autovettori.
Inoltre ...
Ciao qualcuno sa dirmi perche':
(a+b-c).(a-b+c) /\ (-a+b+c) = -4a.b /\ c
Dove . e' il prodotto scalare e /\ e' il prodotto vettoriale.
Grazie
Buonasera a tutti...qualcuno riesce a spiegarmi come scrivere una matrice che rappresenta ƒ rispetto alle basi canoniche di
M(2x2, R) e di R^3 ???
A svolgere a) non ho problemi ma per b) non riesco proprio a capire come si fa! :S
grazie 1000!
Salve a tutti
Innanzitutto mi scuso se la sezione non è quella più appropriata, se così fosse spostatela dove ritenete più opportuno
Studiando reti neurali mi sono imbattuto in un interessante problema, che geometricamente può essere sintetizzato come segue.
Chiamiamo [tex]\Omega[/tex] l'insieme dei vettori [tex]\vec \omega = (\omega_1, \omega_2, \dots , \omega_N)[/tex] con [tex]\omega_i \in \{-1,1\}[/tex]. In pratica si tratta dei vertici dell'ipercubo in [tex]\mathbb{R}^N[/tex] centrato ...
Salve ragazzi,
mi sono trovato davanti ad un esercizio che recita così:
Siano $R_2[x]$ e $R_3[x]$ gli spazi vettoriali dei polinomi $<=2$ e $<=3$. Ho un morfismo $ L:R_2[x]->R_3[x] $ definito da
$L(a+bx+cx^2) = -b+(a+c)x+(a-c)x^2+(b-c)x^3 $
Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche, alla base $ B={1,1+x,-x^2} $ e $B'={1, x, x+x^2, x^3}$
Per le basi canoniche ho pensato di considerare il morfismo come $L(a,b,c)=(-b, a+c, a-c, b-c) $ (di solito mi sono trovato a morfismi di questo ...
Non riesco a risolvere quaesto esercizio:
2x+ky+z=0
x-y-2z=k
x+y+z=0
Indicare per quali valori del parametro k il sostema è incompatibile e per quali valori è compatibile. in tal caso, indicare se la soluzione è unica o se ci sono infinite soluzioni e determinare la soluzione o le soluzioni. giustificare e risolvere il sistema per k=0
dal testo abbiamo $V$ spazio vettoriale di dimensione 4 con $f:V$ $rarr$ $V$
$ f(e_1)=e_2+e_3+2e_4 $
$ f(e_2)=-2e_1-e_2+e_3 $
$ f(e_3)=3e_1+2e_2-e_3+e_4 $
$ f(e_1)=-e_1-e_2-e_4 $
1) scrivere la matrice che rappresenta f rispetto ai versori
2)calcolare rk(f) null(f)
3)calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) dove
$P=-e_1+e_3+e_4 $
$L=2e_1+e_2-e_3$
quindi la matrice rispetto ai versori credo sia la seguente :
$[[0,-2,3,-1],[1,-1,2,-1],[1,1,-1,0],[2,0,1,-1]]$
riduco poi la matrice a scalini per calcolarmi il ...
Salve a tutti il mio problema e' semplice: non riesco a capire come possa un autovettore come ad esempio questo v=t(0,0,1) ad avere molteplicita' geometrica=1.
Ho capito e forse mi sbaglio, che la molteplicita' geometrica e' la dimensione dell'autovettore; ma la dimensione di un vettore di R^3 non e' proprio 3?
Infatti una base di R^3 sono i vettori canonici..e ne servono 3 per fare una base...cosa sbaglio nel ragionamento?
Ho sbagliato qualche definizione?
Grazie a tutti per ...
Data una matrice \(A\in M_{m,n}(k)\), la sua trasposta \(A^t\) soddisfa alla relazione
\[
\langle Av,w\rangle = \langle v, A^t w\rangle
\]
dove \(\langle -,=\rangle\) e' il prodotto scalare standard su $k^n$; questo ammonta a dire che le applicazioni lineari rappresentate da $A,A^t$ sono aggiunte rispetto al pairing standard, che identifica (quasi) canonicamente $k^n$ col suo duale.
Esiste un modo di caratterizzare gli autovettori di autovalore 1 degli ...
Come dimostrare questa proprietà del prodotto scalare ?
Ho provato semplicemente a sviluppare i calcoli, e mi esce qualcosa del genere:
$ <\vec{v} + \vec{w}, \vec {u}> = ||\vec{w}+\vec{v}|| ||\vec{u}|| cos hat((\vec{w}+\vec{v})\vec {u}) $
dopodichè
$||\vec{w}+\vec{v}|| ||\vec{u}|| cos hat((\vec{w}+\vec{v})\vec {u})=||\vec{w}|| ||\vec{u}|| cos hat((\vec{w}+\vec{v})+||\vec{v}|| ||\vec{u}|| cos hat((\vec{w}+\vec{v})$
Come continuare?
salve ...
non riesco a diagonalizzare questa forma quadratica (ho pensato di farlo mediante gaus)s...
eccola: $Q=5x_1^2+3x_2^2-x_1x_3$
io faccio i seguenti calcoli
considero il termine $5x_1^2-x_1x_3=0$
raccolgo ed ottengo $5x_1(x_1-(x_3)/5)=0$=> poi scrivo $5(x_1-x_3/5)^2-5(x_3^2/25-1/5x_1x_3)=0$ qui ho considerato il quadrato della quantità tra parentesi e sottratto i termini e poi raccolto di nuovo
quindi $Q=5(x_1-x_3/5)^2+3x_2^2-5(x_3^2/25-(x_1x_3)/(5))$
ma dovrei di nuovo raccogliere $x_3$ e fare lo stesso procedimento .. ma non ...
Ciao ragazzi, devo risolvere il seguente esercizio. Date 2 rette R1: {x=t, y=2t, z=1+3t} e R2: {x-z=0, 4x-y=0}. Potete aiutarmi?
1) Dimostrare che le due rette non hanno punti di intersezione.
2) Esiste un piano che contiene sia r1 che r2?
3) Trovare un piano π1 contenente r1 e parallelo r2.
4) Trovare un piano π2 contenente r2 e parallelo r1.
5) Trovare una retta σ perpendicolare a π1 e π2.
6) Usando i punti precedenti trovare la distanza tra r1 ed r2.
SOLUZIONE:
Intanto trovo l'equazione ...
Ciao a tutti ragazzi, consulto questo forum da diverso tempo quando ho dubbi su come svolgere esercizi e trovo sempre molta gente preparata e cortese ad aiutare chi ha problemi. Oggi volevo sottoporvi questo quesito che ho risolto, ma vorrei da voi maggiori chiarimenti in merito alla correttezza di tutte le sue parti. Ringrazio anticipatamente tutti per le risposte.
Dati due punti A= (0,0,1) e B= (1,2,0) e un piano p: 2x -y +z +1 = 0.
1) Trovare equazioni cartesiane e parametriche della ...
ciao a tutti, ho problemi a capire come la biregolarità di una curva possa essere equivalente al fatto di avere accelerazione non nulla su tutto il dominio del parametro. riporto qui cosa dicono gli appunti da cui sto studiando
una curva biregolare è una curva $alpha:I to bbbR^3$ di classe almeno $C^2$ tale che $alpha'(t) wedge alpha''(t) ne 0$ $forall t in I$
se $s$ è un altro parametro (in particolare $s$ è l'ascissa curvilinea) sappiamo che vale ...
Consideriamo una circonferenza di raggio r=1 e centro O
Consideriamo un punto A interno alla circonferenza a distanza x da O
Tracciamo per A due rette che formino angoli di 45 gradi con la retta AO
Queste due rette incontreranno la circonferenza in 4 punti R, S, T, U, che a loro volta definiscono le figure mistilinee
ATS,ASR,ARU,AUT
Definire la funzione f(x) della variabile x che restituisce la somma algebrica di ATS+ARU-AUT-ASR
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