Topologia metrica

[louis101]

ciao a tutti,

ho uno spazio vettoriale normato $V$, la norma induce una distanza che a sua volta induce una topologia metrica; ho quindi che è possibile definire una topologia sul mio spazio vettoriale.

detto ciò, vorrei verificare che rispetto a questa topologia le operazioni di somma di vettori e di prodotto per scalare sono continue (ho letto la definizione di spazio vettoriale topologico su wikipedia ).

cominciamo con la somma
$+:V times V to V$
la topologia su $V$ è quella metrica (avente per base la famiglia delle palle aperte ${B(v,r):v in V, r>0}$) mentre la topologia su $V times V$ è la topologia prodotto (avente per base la famiglia ${B(v_1,r_1) times B(v_2,r_2): v_1,v_2 in V, r_1,r_2 >0}$);
per la definizione di continuità dovrei verificare che la controimmagine di ogni aperto di $V$ è un aperto di $V times V$.
purtroppo non riesco a partire perchè non capisco bene come la somma mappa sottoinsiemi di $V times V$, potreste darmi una prima spinta?
grazie

[louis101]

cercando su internet ho trovato un espediente (niente di superlativo, ma non ci avevo pensato)

so che $f$ è continua se e solo se ${v_n}_n to v Rightarrow f(v_n) to f(v)$

dunque basta mostrare che ${v_n}_n to v,$ ${w_n}_n to w Rightarrow {v_n+w_n}_n to v+w$

$||(v_n + w_n) - (v+w)||<=||v_n - v||+||w_n-w|| to 0+0=0$

corretto no? analogmente potrei dimostrare lo stesso per il prodotto per scalare

[j18eos]

A me convince.

[louis101]

ok grazie