Matrice Rappresentativa
Buonasera a tutti...qualcuno riesce a spiegarmi come scrivere una matrice che rappresenta ƒ rispetto alle basi canoniche di
M(2x2, R) e di R^3 ???
A svolgere a) non ho problemi ma per b) non riesco proprio a capire come si fa! :S
grazie 1000!
M(2x2, R) e di R^3 ???
A svolgere a) non ho problemi ma per b) non riesco proprio a capire come si fa! :S
grazie 1000!
Risposte
Dovresti sapere che se hai due spazi vettoriali $V, W$ con basi $\{v_i\}_{i=1...n},\ \{w_j\}_{j=1...m}$ allora è possibile scrivere
$$f(v_i)=\sum_{j=1}^m a_{ij} w_j,\qquad i=1...n$$
e la matrice che rappresenta $f$ risulta $A=[a_{ij}]^t$.
Ora, nel tuo caso, quali sono le basi $v_i,\ w_j$? Sai calcolare $f(v_i)$? Riesci a scrivere tale vettore (intendo $f(v_i)$ usando la base $w_j$?
$$f(v_i)=\sum_{j=1}^m a_{ij} w_j,\qquad i=1...n$$
e la matrice che rappresenta $f$ risulta $A=[a_{ij}]^t$.
Ora, nel tuo caso, quali sono le basi $v_i,\ w_j$? Sai calcolare $f(v_i)$? Riesci a scrivere tale vettore (intendo $f(v_i)$ usando la base $w_j$?
La base di V dovrebbe essere la canonica per le matrici 2x2 giusto?
Mentre la base per W dovrebbe essere quella dell'immagine?
Mentre la base per W dovrebbe essere quella dell'immagine?
Trattandosi di basi canoniche, più semplicemente la matrice M che cerchi sarà del tipo $3x4$ ed ha per righe i coefficienti delle incognite $a,b,c,d$ così come si presentano nella rappresentazione di f. In breve è :
$M= ((0,0,-4,1),(2,0,3,1),(2,0,-1,2)) $
Nel fare il calcolo di Im(f) devi però aver cura di sostituire ad ogni matrice il vettore di $mathbb{R^4}$ formato dalla quaterna ordinata costruita con i suoi elementi. Per esempio volendo l'immagine della matrice $((1,0),(0,0))$ [come suggerito da Ciampax ... ] devi fare al seguente modo :
$f((1,0),(0,0))=f((1),(0),(0),(0))=((0,0,-4,1),(2,0,3,1),(2,0,-1,2)) cdot ((1),(0),(0),(0))=((0),(2),(2))$
Altro esempio. Immagine di $((1,2),(3,4))$ :
$f((1,2),(3,4))=f((1),(2),(3),(4))=((0,0,-4,1),(2,0,3,1),(2,0,-1,2)) cdot ((1),(2),(3),(4))=((-8),(15),(7))$
$M= ((0,0,-4,1),(2,0,3,1),(2,0,-1,2)) $
Nel fare il calcolo di Im(f) devi però aver cura di sostituire ad ogni matrice il vettore di $mathbb{R^4}$ formato dalla quaterna ordinata costruita con i suoi elementi. Per esempio volendo l'immagine della matrice $((1,0),(0,0))$ [come suggerito da Ciampax ... ] devi fare al seguente modo :
$f((1,0),(0,0))=f((1),(0),(0),(0))=((0,0,-4,1),(2,0,3,1),(2,0,-1,2)) cdot ((1),(0),(0),(0))=((0),(2),(2))$
Altro esempio. Immagine di $((1,2),(3,4))$ :
$f((1,2),(3,4))=f((1),(2),(3),(4))=((0,0,-4,1),(2,0,3,1),(2,0,-1,2)) cdot ((1),(2),(3),(4))=((-8),(15),(7))$
La matrice M che hai scritto mi veniva nel momento in cui cercavo la base dell'Immagine e allora ho verificato che alcuni vettori erano linearmente dipendenti e perciò mi é venuta la base dell'Immagine:
Base(Im) = { (0, 2, 2), (-4, 3, -1)}
Adesso non so come andare avanti, cioé:
• la matrice rappresentativa di ƒ rispetto alle basi canoniche di M(2x2, R) é la matrice che M che hai scritto tu? (la lascio così com'é nonostante contenga vettori linearmente dipendenti in tal caso?)
• come calcolo quella rispetto alle basi di R^3?
Base(Im) = { (0, 2, 2), (-4, 3, -1)}
Adesso non so come andare avanti, cioé:
• la matrice rappresentativa di ƒ rispetto alle basi canoniche di M(2x2, R) é la matrice che M che hai scritto tu? (la lascio così com'é nonostante contenga vettori linearmente dipendenti in tal caso?)
• come calcolo quella rispetto alle basi di R^3?
Una cosa è la matrice rappresentativa ed un'altra è la base dell'immagine ( che nel tuo caso si riduce a due soli vettori dato che essa ha rango 2). La matrice è dunque la M che ho riportato e la base di Im(f) è quella scritta da te o una qualunque altra equivalente. L'altra tua domanda non ha senso: non esiste una matrice per il dominio di f ( le matrici 2x2 nel tuo caso ) ed una per il codominio ( $mathbb{R^3}$ nel tuo caso ). Esiste una sola matrice riferita ad una base del dominio e ad una del codominio. Tale matrice può cambiare al cambiare delle basi che si scelgono ma per ogni scelta è sempre una ed una sola...
Ah ho capito! Va bene ti ringrazio ciromario e grazie anche a ciampax! Alla prossima! 
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