Matrice associata ad un morfismo rispetto a basi
Salve ragazzi,
mi sono trovato davanti ad un esercizio che recita così:
Siano $R_2[x]$ e $R_3[x]$ gli spazi vettoriali dei polinomi $<=2$ e $<=3$. Ho un morfismo $ L:R_2[x]->R_3[x] $ definito da
$L(a+bx+cx^2) = -b+(a+c)x+(a-c)x^2+(b-c)x^3 $
Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche, alla base $ B={1,1+x,-x^2} $ e $B'={1, x, x+x^2, x^3}$
Per le basi canoniche ho pensato di considerare il morfismo come $L(a,b,c)=(-b, a+c, a-c, b-c) $ (di solito mi sono trovato a morfismi di questo tipo) e quindi considerare la base canonica $(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)$. Dovrebbe venire:
$L(1,0,0)=(0,1,1,0) = x+x^2$ (?)
$L(0,1,0)=(-1,0,0,1) = -1+x^3 $ (?)
$L(0,0,1)=(0,1, -1,-1) = x-x^2-x^3 $ (?)
quindi la matrice associata è la seguente:
$((0,1,1,0),(-1,0,0,1),(0,1,-1,-1))$
Qualcuno può dirmi se è corretto?
mi sono trovato davanti ad un esercizio che recita così:
Siano $R_2[x]$ e $R_3[x]$ gli spazi vettoriali dei polinomi $<=2$ e $<=3$. Ho un morfismo $ L:R_2[x]->R_3[x] $ definito da
$L(a+bx+cx^2) = -b+(a+c)x+(a-c)x^2+(b-c)x^3 $
Determinare la matrice associata rispetto alle basi canoniche, alla base $ B={1,1+x,-x^2} $ e $B'={1, x, x+x^2, x^3}$
Per le basi canoniche ho pensato di considerare il morfismo come $L(a,b,c)=(-b, a+c, a-c, b-c) $ (di solito mi sono trovato a morfismi di questo tipo) e quindi considerare la base canonica $(1,0,0)(0,1,0)(0,0,1)$. Dovrebbe venire:
$L(1,0,0)=(0,1,1,0) = x+x^2$ (?)
$L(0,1,0)=(-1,0,0,1) = -1+x^3 $ (?)
$L(0,0,1)=(0,1, -1,-1) = x-x^2-x^3 $ (?)
quindi la matrice associata è la seguente:
$((0,1,1,0),(-1,0,0,1),(0,1,-1,-1))$
Qualcuno può dirmi se è corretto?
Risposte
Le basi canoniche dei due spazi sono
$$B_2=\{1,x,x^2\},\qquad B_3=\{1,x,x^2,x^3\}$$
per cui mi sembra corretto (quello che hai fatto è identificare la base canonica standard dei polinomi di un certo grado con quella canonica di $RR^n$ dove $n$ coincide con il grado massimo +1).
$$B_2=\{1,x,x^2\},\qquad B_3=\{1,x,x^2,x^3\}$$
per cui mi sembra corretto (quello che hai fatto è identificare la base canonica standard dei polinomi di un certo grado con quella canonica di $RR^n$ dove $n$ coincide con il grado massimo +1).
Grazie mille. Per la base B invece non ho proprio idea di come si faccia.
Stando a quanto detto sopra doverebbe essere così:
$L(1) = L(1, 0, 0) = (0, 1, 1, 0)$
$L(1+x) = L(1, 1, 0) = (-1, 1, 1, 1)$
$L(1-x^2)=L(1,0,-1) = (0, 0, 2, 1) $
però su questo non sono tanto sicuro...
Stando a quanto detto sopra doverebbe essere così:
$L(1) = L(1, 0, 0) = (0, 1, 1, 0)$
$L(1+x) = L(1, 1, 0) = (-1, 1, 1, 1)$
$L(1-x^2)=L(1,0,-1) = (0, 0, 2, 1) $
però su questo non sono tanto sicuro...
Nell'altro caso hai, ad esempio
$$L(1)=x+x^2=(0,0,1,0)$$
$$L(1)=x+x^2=(0,0,1,0)$$
"ciampax":
Nell'altro caso hai, ad esempio
$$L(1)=x+x^2=(0,0,1,0)$$
Allora non ho capito bene il meccanismo...
La regola dice quanto segue: se $f:V\rightarrow W$ è un omomorfismo, dalla vase $\{v_i\}$ alla base $\{w_j\}$ allora è possibile scrivere
$$f(v_i)=\sum_{j=1}^m a_{ij} w_j,\qquad i=1,\ldots,n$$
La matrice di rappresentazione è allora $F=[a_{ij}]^t$.
Ora, nel tuo caso si ha
$$v_1=1,\quad v_2=1+x,\quad v_3=-x^2$$
$$w_1=1,\quad w_2=x,\quad w_3=x+x^2,\quad w_4=x^3$$
Pertanto possiamo scrivere, essendo $a+bx+cx^2=1$, da cui $a=1,\ b=c=0$
$$L(v_1)=L(1)=x+x^2=0\cdot 1+0\cdot x+1\cdot(x+x^2)+0\cdot x^3=(0,0,1,0)$$
Chiaro adesso?
$$f(v_i)=\sum_{j=1}^m a_{ij} w_j,\qquad i=1,\ldots,n$$
La matrice di rappresentazione è allora $F=[a_{ij}]^t$.
Ora, nel tuo caso si ha
$$v_1=1,\quad v_2=1+x,\quad v_3=-x^2$$
$$w_1=1,\quad w_2=x,\quad w_3=x+x^2,\quad w_4=x^3$$
Pertanto possiamo scrivere, essendo $a+bx+cx^2=1$, da cui $a=1,\ b=c=0$
$$L(v_1)=L(1)=x+x^2=0\cdot 1+0\cdot x+1\cdot(x+x^2)+0\cdot x^3=(0,0,1,0)$$
Chiaro adesso?
Potresti farmi $L(v_2)$ ? Perchè $L(1)$ mi confonde le idee in quanto uguale a quello della base canonica... grazie!
$L(v_2)$ dovrebbe essere:
$L(v_2)=-1+x+x^2+x^3= $ poi?
$L(v_2)$ dovrebbe essere:
$L(v_2)=-1+x+x^2+x^3= $ poi?
Essendo $a=b=1,\ c=0$ hai
$$L(v_2)=L(1+x)=-1+x+x^2+x^3=-1\cdot 1+1\cdot (x+x^2)+1\cdot x^3=(-1,0,1,1)$$
$$L(v_2)=L(1+x)=-1+x+x^2+x^3=-1\cdot 1+1\cdot (x+x^2)+1\cdot x^3=(-1,0,1,1)$$
È quel $(x+x^2)$ che non mi è chiaro...
E' $w_3$...
"ciampax":
E' $w_3$...
Ok, mentre lo $0$ del vettore $(-1,0,1,1) $ da dove è uscito?
Provo a fare il terzi:
$L(1-x^2)=2x^2+x^3=0*1+0*x+2*(x+x^2)+1*x^3=(0,0,2,1)$
Grazie mille per la pazienza...
NO: poiché $v_3=-x^2$ hai $a=b=0,\ c=-1$ per cui
$$L(v_3)=L(-x^2)=-x+x^2-x^3=0\cdot 1-2\cdot x+1\cdot(x+x^2)-1\cdot x^3=(0,-2,1,-1)$$
Secondo me ti sfugge proprio il concetto di come si usa una base, sai?
$$L(v_3)=L(-x^2)=-x+x^2-x^3=0\cdot 1-2\cdot x+1\cdot(x+x^2)-1\cdot x^3=(0,-2,1,-1)$$
Secondo me ti sfugge proprio il concetto di come si usa una base, sai?
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