Rette nello spazio
Ciao ragazzi, devo risolvere il seguente esercizio. Date 2 rette R1: {x=t, y=2t, z=1+3t} e R2: {x-z=0, 4x-y=0}. Potete aiutarmi?
1) Dimostrare che le due rette non hanno punti di intersezione.
2) Esiste un piano che contiene sia r1 che r2?
3) Trovare un piano π1 contenente r1 e parallelo r2.
4) Trovare un piano π2 contenente r2 e parallelo r1.
5) Trovare una retta σ perpendicolare a π1 e π2.
6) Usando i punti precedenti trovare la distanza tra r1 ed r2.
SOLUZIONE:
Intanto trovo l'equazione parametrica di r2 in modo da avere i due vettori direttori. v=(1,2,3) e w=(1,4,1).
1) per vedere se le rette sono parallele, vedo se il rango della matrice dei vettori direttori delle due rette è uguale a 1, ma viene 2, quindi non parallele. Provo a vedere se sono perpendicolari con la formula ll'+mm'+nn'=0, ma il mio risultato non è 0, quindi non capisco come sono queste due rette.
1) Dimostrare che le due rette non hanno punti di intersezione.
2) Esiste un piano che contiene sia r1 che r2?
3) Trovare un piano π1 contenente r1 e parallelo r2.
4) Trovare un piano π2 contenente r2 e parallelo r1.
5) Trovare una retta σ perpendicolare a π1 e π2.
6) Usando i punti precedenti trovare la distanza tra r1 ed r2.
SOLUZIONE:
Intanto trovo l'equazione parametrica di r2 in modo da avere i due vettori direttori. v=(1,2,3) e w=(1,4,1).
1) per vedere se le rette sono parallele, vedo se il rango della matrice dei vettori direttori delle due rette è uguale a 1, ma viene 2, quindi non parallele. Provo a vedere se sono perpendicolari con la formula ll'+mm'+nn'=0, ma il mio risultato non è 0, quindi non capisco come sono queste due rette.
Risposte
1) Nello spazio due rette possono essere sghembe, cioè non essere parallele e, tuttavia, non avere punti di intersezione. Quello che devi fare è provare a vedere se una intersezione ce l'hanno, risolvendo un banalissimo sistema.
"ciampax":
1) Nello spazio due rette possono essere sghembe, cioè non essere parallele e, tuttavia, non avere punti di intersezione. Quello che devi fare è provare a vedere se una intersezione ce l'hanno, risolvendo un banalissimo sistema.
2) Dal momento che le rette sono sghembe, quindi non complanari, non esiste un piano che le contenga entrambe.
3) Trovo equazioni cartesiane della retta r e applico la formula (2x-y) + h (3x-z+1) = 0
trovo l'insieme dei piani che contengono r. (2+3h)x-y-hz+h=0.
impongo perpendicolarità con s di parametri direttori (1,4,1) e ottengo il valore di h=2/3.
sostituisco h all'insieme dei piani. 4x-y-2/3z+2/3=0.
ciampax sai dirmi se è corretto il mio ragionamento?
Non ti seguo. Allora, iniziamo dal punto 1): abbiamo il sistema
$$x=t,\ y=2t,\ z=1+3t,\ x-z=0,\ 4x-y=0$$
Sostituendo le prime tre nelle ultime due si trova $-2t-1=0,\ 2t=0$ che ovviamente risulta incompatibile, per cui non ci sono intersezioni.
2) I vettori direzione delle due rette sono $v_1=(1,2,3),\ v_2=(-1,4,-1)$, per cui le rette non sono parallele. Inoltre, essendo anche sghembe, non hanno un piano in comune.
3) Indichiamo con $ax+by+cz+d=0$ il piano e sia $n=(a,b,c)$ il suo vettore normale. Se una retta di vettore direzione $u=(u_1,u_2,u_3)$ e passante per un punto $(x_0,y_0,z_0)$ appartiene ad un piano, allora deve essere
$$n\times v_1=0\ \Rightarrow\ au_1+bu_2+cu_3=0,\qquad ax_0+by_o+cz_0+d=0$$
Nel nostro caso, poiché scegliendo $t=0$ si ha il punto $P(0,0,1)$ della retta, possiamo scrivere
$$a+2b+3c=0,\qquad c+d=0$$
La condizione di parallelismo tra una retta e un piano, invece, è data semplicemente dalla condizione $n\times u=0$. Pertanto nel nostro caso si ha
$$-a+4b-c=0$$
Le tre equazioni scritte danno come soluzione
$$a=7b,\ b=b,\ c=-3b,\ d=3b$$
e quindi il piano
$$7x+y-3z+3=0$$
$$x=t,\ y=2t,\ z=1+3t,\ x-z=0,\ 4x-y=0$$
Sostituendo le prime tre nelle ultime due si trova $-2t-1=0,\ 2t=0$ che ovviamente risulta incompatibile, per cui non ci sono intersezioni.
2) I vettori direzione delle due rette sono $v_1=(1,2,3),\ v_2=(-1,4,-1)$, per cui le rette non sono parallele. Inoltre, essendo anche sghembe, non hanno un piano in comune.
3) Indichiamo con $ax+by+cz+d=0$ il piano e sia $n=(a,b,c)$ il suo vettore normale. Se una retta di vettore direzione $u=(u_1,u_2,u_3)$ e passante per un punto $(x_0,y_0,z_0)$ appartiene ad un piano, allora deve essere
$$n\times v_1=0\ \Rightarrow\ au_1+bu_2+cu_3=0,\qquad ax_0+by_o+cz_0+d=0$$
Nel nostro caso, poiché scegliendo $t=0$ si ha il punto $P(0,0,1)$ della retta, possiamo scrivere
$$a+2b+3c=0,\qquad c+d=0$$
La condizione di parallelismo tra una retta e un piano, invece, è data semplicemente dalla condizione $n\times u=0$. Pertanto nel nostro caso si ha
$$-a+4b-c=0$$
Le tre equazioni scritte danno come soluzione
$$a=7b,\ b=b,\ c=-3b,\ d=3b$$
e quindi il piano
$$7x+y-3z+3=0$$
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