Esercizio geometria dello spazio
Ciao a tutti ragazzi, consulto questo forum da diverso tempo quando ho dubbi su come svolgere esercizi e trovo sempre molta gente preparata e cortese ad aiutare chi ha problemi. Oggi volevo sottoporvi questo quesito che ho risolto, ma vorrei da voi maggiori chiarimenti in merito alla correttezza di tutte le sue parti. Ringrazio anticipatamente tutti per le risposte. 
Dati due punti A= (0,0,1) e B= (1,2,0) e un piano p: 2x -y +z +1 = 0.
1) Trovare equazioni cartesiane e parametriche della retta r passante per A e B.
2) Il punto A appartiene al piano p?
3) Il punto B appartiene al piano p?
4) Intersezione retta r con il piano p.
5) Retta r è parallela al piano?
6) Retta r è perpendicolare al piano?
7) Equazione cartesiana del piano s contenente A e B e perpendicolare al piano p.
Mia soluzione:
1) vettore AB = (1,2,-1) quindi equazione cartesiana è {x = t; y = 2t; z = 1 - t }
equazione parametrica {t = x; 2x - y = 0; x - z + 1 = 0}.
2) Sostituisco i valori di A nell'equazione del piano e ottengo 2=0 quindi A non appartiene al piano p.
3) Stesso procedimento per B e ottengo 1=0 quindi B non appartiene al piano p.
4) Metto a sistema le equazioni della retta e quella del piano p {2x - y = 0; x - z +1 = 0; 2x - y + z + 1 = 0} che ha soluzioni x = 2, y = -4, z = -1.
5) r e p sono paralleli sse A''l + B''m + C''n = 0, con A'',B'',C'' coefficienti del piano e l,m,n vettore direttore di r. Ho che r è parallela.
6) Dal momento che sono paralleli non possono essere perpendicolari.
7) Impongo all'equazione generica del piano il passaggio per A, per B e la perpendicolarità con p {c + d = 0; a + 2b + d = 0, 2a -b +c +1 = 0} con soluzioni a = 1, b = -2, c = -7, d = 7. Il piano è s: x - 2y -7z + 7 = 0.
Dati due punti A= (0,0,1) e B= (1,2,0) e un piano p: 2x -y +z +1 = 0.
1) Trovare equazioni cartesiane e parametriche della retta r passante per A e B.
2) Il punto A appartiene al piano p?
3) Il punto B appartiene al piano p?
4) Intersezione retta r con il piano p.
5) Retta r è parallela al piano?
6) Retta r è perpendicolare al piano?
7) Equazione cartesiana del piano s contenente A e B e perpendicolare al piano p.
Mia soluzione:
1) vettore AB = (1,2,-1) quindi equazione cartesiana è {x = t; y = 2t; z = 1 - t }
equazione parametrica {t = x; 2x - y = 0; x - z + 1 = 0}.
2) Sostituisco i valori di A nell'equazione del piano e ottengo 2=0 quindi A non appartiene al piano p.
3) Stesso procedimento per B e ottengo 1=0 quindi B non appartiene al piano p.
4) Metto a sistema le equazioni della retta e quella del piano p {2x - y = 0; x - z +1 = 0; 2x - y + z + 1 = 0} che ha soluzioni x = 2, y = -4, z = -1.
5) r e p sono paralleli sse A''l + B''m + C''n = 0, con A'',B'',C'' coefficienti del piano e l,m,n vettore direttore di r. Ho che r è parallela.
6) Dal momento che sono paralleli non possono essere perpendicolari.
7) Impongo all'equazione generica del piano il passaggio per A, per B e la perpendicolarità con p {c + d = 0; a + 2b + d = 0, 2a -b +c +1 = 0} con soluzioni a = 1, b = -2, c = -7, d = 7. Il piano è s: x - 2y -7z + 7 = 0.
Risposte
1) veramente l'equazione parametrica sarebbe questa:
$$x=t,\ y=2t,\ z=1-t$$
mentre quella cartesiana si ottiene come intersezione dei piani
$$2x-y=0,\ x+z-1=0$$
2-3) corretto
4) mi sembra corretto (non ho fatto i calcoli)
5) Sicuro? Se $v=(a,b,c)$ è il vettore di direzione della retta e $n=(A,B,C)$ il vettore perpendicolare al piano (che si ottiene prendendo i coefficienti di $x,y,z$, allora la condizione $v\times n=aA+bB+cC=0$ implica il parallelismo, certo. Solo che a me viene $2-2-1=-1\ne 0$
6) a questo punto riguarderei questa cosa
7) facendo i conti a me viene $3x+y+5z-5=0$ (non capisco come faccia a venirti fuori il $+1$ nell'ultima equazione).
$$x=t,\ y=2t,\ z=1-t$$
mentre quella cartesiana si ottiene come intersezione dei piani
$$2x-y=0,\ x+z-1=0$$
2-3) corretto
4) mi sembra corretto (non ho fatto i calcoli)
5) Sicuro? Se $v=(a,b,c)$ è il vettore di direzione della retta e $n=(A,B,C)$ il vettore perpendicolare al piano (che si ottiene prendendo i coefficienti di $x,y,z$, allora la condizione $v\times n=aA+bB+cC=0$ implica il parallelismo, certo. Solo che a me viene $2-2-1=-1\ne 0$
6) a questo punto riguarderei questa cosa
7) facendo i conti a me viene $3x+y+5z-5=0$ (non capisco come faccia a venirti fuori il $+1$ nell'ultima equazione).
1) Ho ricontrollato e stupidamente ho sbagliato i conti;
5) Io sbagliavo perchè consideravo anche la D del piano. r e p non risultano parallele, potevo accorgermene dopo aver visto che l'intersezione tra r e p non era nulla;
6) Prendo la matrice dei coefficienti del piano e quelli del vettore direttore v e calcolo il rango. Mi viene uguale a 2, solo nel caso fosse stato 1 allora risultavano perpendicolari, giusto?
7) Il +1 nell'ultima equazione la ottengo sostituendo i valori del piano p all'equazione generica del piano ax + by + cz + d = 0. sbaglio?
5) Io sbagliavo perchè consideravo anche la D del piano. r e p non risultano parallele, potevo accorgermene dopo aver visto che l'intersezione tra r e p non era nulla;
6) Prendo la matrice dei coefficienti del piano e quelli del vettore direttore v e calcolo il rango. Mi viene uguale a 2, solo nel caso fosse stato 1 allora risultavano perpendicolari, giusto?
7) Il +1 nell'ultima equazione la ottengo sostituendo i valori del piano p all'equazione generica del piano ax + by + cz + d = 0. sbaglio?
6) Ok
7) E perché fai una cosa del genere? Quello che ti serve è una condizione di perpendicolarità tra i piani che viene ereditata dalle loro normali, per cui...
7) E perché fai una cosa del genere? Quello che ti serve è una condizione di perpendicolarità tra i piani che viene ereditata dalle loro normali, per cui...
"ciampax":
6) Ok
7) E perché fai una cosa del genere? Quello che ti serve è una condizione di perpendicolarità tra i piani che viene ereditata dalle loro normali, per cui...
Scusami potresti dirmi come ti viene il sistema del punto 7 oppure come si procede che non riesco proprio a capire. Grazie.
Mi sa che ti sfugge il concetto di prodotto scalare tra vettori. Se tu hai due piani
$$ax+by+cz+d=0,\qquad a' x+b' y+c' z+d'=0$$
con vettori normali $v=(a,b,c),\ v'=(a',b',c')$, qual è il loro prodotto scalare? Ti pare che debba venire fuori il termine noto?
$$ax+by+cz+d=0,\qquad a' x+b' y+c' z+d'=0$$
con vettori normali $v=(a,b,c),\ v'=(a',b',c')$, qual è il loro prodotto scalare? Ti pare che debba venire fuori il termine noto?
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