Esercizi su spazi vettoriali
dal testo abbiamo $V$ spazio vettoriale di dimensione 4 con $f:V$ $rarr$ $V$
$ f(e_1)=e_2+e_3+2e_4 $
$ f(e_2)=-2e_1-e_2+e_3 $
$ f(e_3)=3e_1+2e_2-e_3+e_4 $
$ f(e_1)=-e_1-e_2-e_4 $
1) scrivere la matrice che rappresenta f rispetto ai versori
2)calcolare rk(f) null(f)
3)calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) dove
$P=-e_1+e_3+e_4 $
$L=2e_1+e_2-e_3$
quindi la matrice rispetto ai versori credo sia la seguente :
$[[0,-2,3,-1],[1,-1,2,-1],[1,1,-1,0],[2,0,1,-1]]$
riduco poi la matrice a scalini per calcolarmi il rango:
$[[1,1,-1,0],[0,-2,3,-1],[0,0,0,-0],[0,0,0,0]]$
ho dunque rk=2 null=4-2=2
per calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) credo (e non ne sono sicura) di dover fare la cartesiana dell'immagine la parametrica di P+L(B)
e intersecarle:
$\{(x_1+x_3-x_2=0),(x_1+2x_3-x_4=0):}$ cartesiana immagine
$(-1+2t,t,1-t,1)$ parametrica di P+L(B)
facendo l'intersezione però mi viene che 0=0 che cosa vuol dire??? quanto è la dimensione???
p.s. se ho sbagliato a scrivere o a fare qualcosa per favore ditemelo sono pronta a modificare dove ho sbagliato non evitate la mia discussione
grazie mille in anticipo
$ f(e_1)=e_2+e_3+2e_4 $
$ f(e_2)=-2e_1-e_2+e_3 $
$ f(e_3)=3e_1+2e_2-e_3+e_4 $
$ f(e_1)=-e_1-e_2-e_4 $
1) scrivere la matrice che rappresenta f rispetto ai versori
2)calcolare rk(f) null(f)
3)calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) dove
$P=-e_1+e_3+e_4 $
$L=2e_1+e_2-e_3$
quindi la matrice rispetto ai versori credo sia la seguente :
$[[0,-2,3,-1],[1,-1,2,-1],[1,1,-1,0],[2,0,1,-1]]$
riduco poi la matrice a scalini per calcolarmi il rango:
$[[1,1,-1,0],[0,-2,3,-1],[0,0,0,-0],[0,0,0,0]]$
ho dunque rk=2 null=4-2=2
per calcolare dim(f^(-1)(P+L(B)) credo (e non ne sono sicura) di dover fare la cartesiana dell'immagine la parametrica di P+L(B)
e intersecarle:
$\{(x_1+x_3-x_2=0),(x_1+2x_3-x_4=0):}$ cartesiana immagine
$(-1+2t,t,1-t,1)$ parametrica di P+L(B)
facendo l'intersezione però mi viene che 0=0 che cosa vuol dire??? quanto è la dimensione???
p.s. se ho sbagliato a scrivere o a fare qualcosa per favore ditemelo sono pronta a modificare dove ho sbagliato non evitate la mia discussione
grazie mille in anticipo
Risposte
1) giusto;
2) non è che, oltre alle dimensioni, devi anche scrivere esplicitamente come è fatto il nucleo?
3) Non capisco bene cosa stai facendo: secondo me basta usare la definizione. Se $f:V\rightarrow V$ è un endomorfismo, $W\subset V$ è un sottospazio, allora per definizione si ha che
$f^{-1}(W)=\{v\in V\ :\ f(v)=w,\ w\in W\}$
Come procedere? Trova una base di $W$ e, di conseguenza, il generico vettore $w$ appartenente ad esso (tale vettore dipenderà da alcuni parametri, tanti quanto la dimensione di $W$). Prendi un vettore incognito $v=(x,y,z,t)$ e scrivi il sistema $f(v)=w$. Risolvi. In generale $x,y,z,t$ dipenderanno dagli stessi parametri da cui dipende $w$.
2) non è che, oltre alle dimensioni, devi anche scrivere esplicitamente come è fatto il nucleo?
3) Non capisco bene cosa stai facendo: secondo me basta usare la definizione. Se $f:V\rightarrow V$ è un endomorfismo, $W\subset V$ è un sottospazio, allora per definizione si ha che
$f^{-1}(W)=\{v\in V\ :\ f(v)=w,\ w\in W\}$
Come procedere? Trova una base di $W$ e, di conseguenza, il generico vettore $w$ appartenente ad esso (tale vettore dipenderà da alcuni parametri, tanti quanto la dimensione di $W$). Prendi un vettore incognito $v=(x,y,z,t)$ e scrivi il sistema $f(v)=w$. Risolvi. In generale $x,y,z,t$ dipenderanno dagli stessi parametri da cui dipende $w$.
"ciampax":
1) giusto;
2) non è che, oltre alle dimensioni, devi anche scrivere esplicitamente come è fatto il nucleo?
3) Non capisco bene cosa stai facendo: secondo me basta usare la definizione. Se $f:V\rightarrow V$ è un endomorfismo, $W\subset V$ è un sottospazio, allora per definizione si ha che
$f^{-1}(W)=\{v\in V\ :\ f(v)=w,\ w\in W\}$
Come procedere? Trova una base di $W$ e, di conseguenza, il generico vettore $w$ appartenente ad esso (tale vettore dipenderà da alcuni parametri, tanti quanto la dimensione di $W$). Prendi un vettore incognito $v=(x,y,z,t)$ e scrivi il sistema $f(v)=w$. Risolvi. In generale $x,y,z,t$ dipenderanno dagli stessi parametri da cui dipende $w$.
no chiede solo il nucleo poi successivamente chiederà di fare il ker ma avevo intenzione di chiarire prima l'ultima domanda e poi di continuare con il compito,
quello che ho fatto nella 3) è semplicemente l'allplicazione di una formula di grassman ovvero:
$dim(f(S^(-1)))=null(f)+dim(S nn im(f)) $ ma sinceramente non so se vale anche per l'affini
ma una base di $W$ non è $B$ stessa?Poi non ho capito bene come si fa a scrivere il sistema $f(v)=w$ e comunque cosa c'entra con la dimensione?
(scusa la quantità di domande!)
allora ho controllato la formula applicata di grassman è giusta e vale anche per l'affini.... ma ancora non capisco cosa vuol dire $0=0$ nell'intersezione... quanto sarebbe la dimensione???
Allora, andiamo con ordine: stai in pratica usando la relazione tra le dimensioni dello spazio su cui agisce un endomorfismo, quella del nucleo e quella dell'immagine. Ok, adesso mi è più chiaro. Da quello che vedo, ciò che stai cercando di determinare la dimensione dell'intersezione tra immagine di $f$ e sottospazio dato. Quello che devi fare, in tal caso, è una cosa simile a quella che ti stavo consigliando io: cioè trovare in generale la forma di un vettore dell'immagine, e cioè, dato un $v=(x,y,z,t)$ determinare $f(v)$ e, una volta fatto questo, porre una "identità" tra $f(v)$ stesso e il generico vettore del sottospazio $P+L(B)$. Ora, quello che sbagli è usare la forma "ridotta" della matrice: tu devi partire dalla matrice che rappresenta $f$ per determinare come sia fatta l'immagine. Per cui dovresti imporre il sistema delle seguenti equazioni
$$-2y+3z-t=-1+2s,\ x-y+2z-t=s,\ x+y-z=1-s,\ 2x+z-t=1$$
$$-2y+3z-t=-1+2s,\ x-y+2z-t=s,\ x+y-z=1-s,\ 2x+z-t=1$$
si ma viene un bel sistemone lungo e laborioso... non è più facile calcolarsi l'immagine in modo da ridurre i calcoli???
comunque avevo sbagliato a calcolarmi appunto la cartesiana dell'immagine che viene in realtà:
$ -x_1-x_2-x_4=0 $
$ x_2+x_3+2x_4 =0$
sbagliavo nel procedimento. Ora per calcolarmi la cartesiana ho tasposto la mia matrice l'ho ridotta a scalini e mi risultano due vettori direzione poi ho fatto come dice ciampax l'ho moltiplicata per delle incognite.
ora per fare l'intersezione però ho trasformato in parametrica $P+L(B)$
e sostituito alla cartesiana dell'immagine mi risulta $t=0 $ e $3=0$ devo considerare solo $t=0$ vero?
se si allora risulterebbe che $dim(P+L(B) nn im(f))=0$ è giusto vero?
comunque avevo sbagliato a calcolarmi appunto la cartesiana dell'immagine che viene in realtà:
$ -x_1-x_2-x_4=0 $
$ x_2+x_3+2x_4 =0$
sbagliavo nel procedimento. Ora per calcolarmi la cartesiana ho tasposto la mia matrice l'ho ridotta a scalini e mi risultano due vettori direzione poi ho fatto come dice ciampax l'ho moltiplicata per delle incognite.
ora per fare l'intersezione però ho trasformato in parametrica $P+L(B)$
e sostituito alla cartesiana dell'immagine mi risulta $t=0 $ e $3=0$ devo considerare solo $t=0$ vero?
se si allora risulterebbe che $dim(P+L(B) nn im(f))=0$ è giusto vero?
Se non ti sporchi le mani, non ottieni risultati! 
Sottraendo tra loro la quarta e la seconda equazione che ho scritto, ottieni la terza equazione. Pertanto il sistema si riduce a
$$2y-3z+t=1-2s,\ x-y+2z-t=s,\ x+y-z=1-s$$
Se ora alla prima sommi la seconda e sottrai la terza ottieni $0=0$ e questo implica che il sistema si riduce ulteriormente al seguente
$$x-y+2z-t=s,\ x+y-z=1-s$$
Sommando e sottraendo membro a membro ottieni
$$x=\frac{1+t-z}{2},\qquad y=\frac{1-t+3z-2s}{2}$$
per cui l'intersezione tra gli spazi ha dimensione? (non è zero).
P.S.: non capisco perché sostituisci l'espressione parametrica a quella cartesiana. Tu non devi verificare "l'appartenenza" ma devi verificare quando i vettori espressi in un modo si possano esprimere anche nell'altro. In parole povere, se hai i due vettori $v=(v_i),\ w=(w_i)$ devi verificare per quali valori dei parametri $v_i=w_i$. Questo ti fornisce una base dell'intersezione e, di conseguenza, la sua dimensione.
Sottraendo tra loro la quarta e la seconda equazione che ho scritto, ottieni la terza equazione. Pertanto il sistema si riduce a
$$2y-3z+t=1-2s,\ x-y+2z-t=s,\ x+y-z=1-s$$
Se ora alla prima sommi la seconda e sottrai la terza ottieni $0=0$ e questo implica che il sistema si riduce ulteriormente al seguente
$$x-y+2z-t=s,\ x+y-z=1-s$$
Sommando e sottraendo membro a membro ottieni
$$x=\frac{1+t-z}{2},\qquad y=\frac{1-t+3z-2s}{2}$$
per cui l'intersezione tra gli spazi ha dimensione? (non è zero).
P.S.: non capisco perché sostituisci l'espressione parametrica a quella cartesiana. Tu non devi verificare "l'appartenenza" ma devi verificare quando i vettori espressi in un modo si possano esprimere anche nell'altro. In parole povere, se hai i due vettori $v=(v_i),\ w=(w_i)$ devi verificare per quali valori dei parametri $v_i=w_i$. Questo ti fornisce una base dell'intersezione e, di conseguenza, la sua dimensione.
"ciampax":
Se non ti sporchi le mani, non ottieni risultati!
Sottraendo tra loro la quarta e la seconda equazione che ho scritto, ottieni la terza equazione. Pertanto il sistema si riduce a
$$2y-3z+t=1-2s,\ x-y+2z-t=s,\ x+y-z=1-s$$
Se ora alla prima sommi la seconda e sottrai la terza ottieni $0=0$ e questo implica che il sistema si riduce ulteriormente al seguente
$$x-y+2z-t=s,\ x+y-z=1-s$$
Sommando e sottraendo membro a membro ottieni
$$x=\frac{1+t-z}{2},\qquad y=\frac{1-t+3z-2s}{2}$$
per cui l'intersezione tra gli spazi ha dimensione? (non è zero).
P.S.: non capisco perché sostituisci l'espressione parametrica a quella cartesiana. Tu non devi verificare "l'appartenenza" ma devi verificare quando i vettori espressi in un modo si possano esprimere anche nell'altro. In parole povere, se hai i due vettori $v=(v_i),\ w=(w_i)$ devi verificare per quali valori dei parametri $v_i=w_i$. Questo ti fornisce una base dell'intersezione e, di conseguenza, la sua dimensione.
mi hanno insegnato che per fare l'intersezione si fa tra cartesiana e parametrica, o parametrica e parametrica ,o cartesiana e cartesiana
probabilmente risolvi in un modo diverso dal mio... non riesco a capire quanto sia la dimensione ti rimangono 3 incognite? ha dimensione 1?
mi verrebbe da dire vedendo il tuo sitema che ha dimensione 2 ....ma so che sto intersecando una retta (P+L(B)) con un piano (im(f)) quindi posso avere dimensioni uguali o a $0$ ovvero 1 punto di intersezione tra il piano e la retta , o $1$ ovvero la retta che giace sul piano, o -1 (nessuna intersezione) ovvero la retta e il piano non si incontrano mai. quindi non può essere dim=2
allora credo di aver capito ciampax con il suo metodo non si sta calcolando $dim(S nn im(f)) $ per poi applicare la formula ma direttamente $dim(f(S^(-1)))$ che in effetti risulta 2
mentre io prima mi sono calcolata $dim(S nn im(f)) $ che è $0$ e poi ho applicato la formula $dim(f(S^(-1)))=null(f)+dim(S nn im(f)) $ infatti $0+null(f)=2$
ho capito bene?
mentre io prima mi sono calcolata $dim(S nn im(f)) $ che è $0$ e poi ho applicato la formula $dim(f(S^(-1)))=null(f)+dim(S nn im(f)) $ infatti $0+null(f)=2$
ho capito bene?
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