Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Theorem 21.3 Munkres: Let \(f:X\rightarrow Y\). If the function \(f\) is continuous, then for every convergent sequence \(x_{n}\rightarrow x\) in \(X\), the sequence \(f(x_{n})\) converges to \(f(x)\). The converse holds if \(X\) is metrizable (ndr \(f(x_{n})\rightarrow f(x)\) for every convergent sequence \(x_{n}\rightarrow x\), then \(f\) is continuous).
Remark 2.15 Rudin: If \(x_{n}\) is a sequence in \(X\) such that the limits \(x_{n}\rightarrow x\) and \(f(x_{n})\rightarrow y\) exists, ...
ciao ragazzi, volevo chiedervi se la seguente matrice è diagonalizzabile:
$ ( ( 2 , 0 , 0 ),( 0 , 2 , 0 ),( 3 , 0 , -1 ) ) $
grazie in anticipo!
siano $ L $ una applicazione lineare e $ x in X, bar(x)in Y $
è lecita la seguente uguaglianza?
$ (x|bar(x))L(bar(x))=(x|bar(x)L(bar(x))) $
dove $ |:= $ prodotto scalare
grazie in anticipo
Il funtore [tex]\pi_1[/tex] è pieno?
ovvero per ogni omomorfismo [tex]f[/tex] tra i gruppi fondamentali di due spazi topologici [tex]X,Y[/tex] esiste una mappa continua [tex]g[/tex]da [tex]X[/tex] a [tex]Y[/tex] tale che l'omomorfismo indotto da [tex]g[/tex] sia [tex]f[/tex]?
Per festeggiare i miei primi [tex]$2000$[/tex] messaggi ecco un esercizio di algebra lineare, che io considero classico e raro.
Siano [tex]$(\mathbb{Z}_2,+,\cdot)$[/tex] il campo di ordine [tex]$2$[/tex] (*), [tex]$\Omega$[/tex] un insieme e [tex]$\mathcal{P}(\Omega)$[/tex] l'insieme dei suoi sottoinsiemi (parti di [tex]$\Omega$[/tex]).
Richiamato che la somma disgiunta o differenza simmetrica [tex]$\Delta$[/tex] tra sottoinsiemi ...
Ciao, ho una domanda relativo ad un dubbio che ho su un esercizio.
L'esercizio è:
Determinare lo spazio delle soluzioni ed una base per il seguente sistema lineare omogeneo:
$\{(3x + y - z = 0),(4x + 2z + 3t= 0),(x - y -7z - 6t = 0):}$
Allora io ho svolto così: La matrice incomleta ha rango 3 in quanto il determinante di una della sottomatrici è $!=$ 0 quindi per il teorema di Rouchè-Capelli il sistema ammette $\infty^1$ soluzioni che ottengo risolvendo il sistema suddetto rispetto ad esempio le incognite x, y e z ...
Salve! Oggi il professore di algebra alla lavagna ha fatto il seguente passaggio (nel calcolare il determinante di una matrice), per il quale non riesco a capire quale proprietà abbia applicato. Vi sarei grato per cortesemente mi aiutaste.
$|(x_1-x_0,x_1*(x_1-x_0)),(x_2-x_0,x_2(x_2-x_0))| = (x_1-x_0)(x_2-x_0)|(1,x_1),(1,x_2)|$
Grazie!
Ciao a tutti, non riesco a capire come il prof. arriva ad una soluzione relativa ad un sistema omogeneo...spero possiate aiutarmi.
Allora ho il sistema $\{(2x + z - t = 0),(2x + y + t = 0),(-x + y + z + t = 0):}$ e so che la soluzione data dal prof. è (1,-7,3,5).
Io ho iniziato a svolgere così (ditemi se è giusto):
Innanzitutto so che il rango della matrice incompleta ricavata dal sistema su detto è 3 ciò implica che vi sono 4-3=1 variabili libere quindi il sistema ha $\infty^1$ soluzioni.
Ora, per esplicitare la soluzione ...
Sia A spazio metrico con metrica d e y un punto di A. Utilizzando la metrica euclidea su R dimostrare che la funzione f: A->R definita da $f(x)=d(x,y)$ è continua.
Allora per definizione, f è una funzione continua in un punto $x_0$ se e solo se: $ AA epsi>0 EE del>0: d(x,x_0)<delrArr d(f(x),f(x_0))<epsi $
giusto?..quindi devo solamente applicare tale definizione tenendo conto che d(x,y) = ||x-y|| ?
Immaginate di legare un cane ad un edificio a pianta circolare di raggio unitario r=1 con un guinzaglio di lunghezza Pi Greco. In particolare, legarlo ad un punto della circonferenza di base dell'edificio. Calcolare l'area della figura costituita dai punti circostanti all'edificio ai quali il cane può arrivare nonostante il vincolo del guinzaglio. Alla matematizzazione del problema, il cane può tranquillamente essere assimilato ad un punto e il guinzaglio ad un filo unidimensionale (toalmente ...
salve a tutti, il mio libro riporta questo esempio di prodotto tensoriale applicato al vettore $x$; $(a$ tensore $b)(x)$ = $a_i b_j x_j e_i$
io non ho capito cosa vuole significare $x_j e_i$
buongiorno a tutti
qualcuno mi può guidare nel risolvere questo esercizio?
Sia $tau_{cof}$ la topologia cofinita su un insieme $X$. Si dimostri che :
1- per ogni $x in X$, l'intersezione di tutti gli intorni di $x$ coincide con il punto $x$
2- se $B_x$ è una base di intorni al punto $x$, allora $nnn_{B in B_x} B={x}$
grazie mille
Cos'è un tensore? ho cercato un po' su internet e non ci ho capito molto. La mia è una curiosità dovuta al fatto che sto leggendo un libro di astrofisica che nomina i tensori, ma non riesco a dare un buon significato alla cosa! Qualcuno sa spiegarmi semplicisticamente cos'è un tensore e/o suggerirmi un qualcosa di semplice da leggere (purtroppo non ho tempo per studiare anche questo) per capire almeno superficialmente l'argomento? sono al primo anno di ingegneria per cui le mie conoscenze ...
Siano $ vec u $ e $vec v$ due versori. Determinare l'angolo tra $ vec u $ e $vec v$ sapendo che $ | 2 vec u - vec v| =sqrt3 $
Potreste dirmi come partire in un esercizio del genere.
Ciao, frequento il primo anno di ingegneria dell' informazione e uno dei corsi che devo seguire e Geometria ed Algebra.
vorrei avere se possibile dei chiarimenti sui gruppi, anelli, campi.
ditemi se quello che ho capito è corretto :
-Un GRUPPO è un insieme non vuoto, con un operazione necessariamente associativa (se poi è anche commutativa è un gruppo abeliano), l'esistenza di un elemento neutro e per ogni elemento esiste il suo inverso;
-Un ANELLO è sempre un insieme non vuoto con due ...
Siano assegnati i vettori v1 = (0; 3; 2), v2 = (2; 1;-2), v3 = (1; 2; 0) in R3.
(a) Si dica per quale valore di t esistono delle funzioni lineari $f : R3 -> R$ tali che f(v1) = 3,
f(v2) = 1 e f(v3) = t.
(b) Per il valore di t trovato nel punto (a), si scrivano le matrici (rispetto alle basi canoniche) di tutte
le funzioni lineari f che soddisfano le richieste indicate.
(c) Si determini l'intersezione dei nuclei di tutte le funzioni lineari associate alle matrici trovate al punto
(b).
Io ho ...
Salve a tutti. Vi chiedo un aiuto per questo esercizio
Dire se è possibile costruire un'applicazione lineare che soddisfi la seguente condizione
T: \( \Re ^2 \) \( \rightarrow \) \( \Re ^2 \)
tale che KerT = \( \Re \) $ ( ( 1 ),( 2 ) ) $ e T $ ( ( 2),( 3 ) ) $ = $ ( ( 5),( -2 ) ) $
come devo procedere?
Ho provato a considerare la base di \( \Re ^2 \) formata dai vettori $ ( ( 1 ),( 2 ) ) $, $ ( ( 2),( 3 ) ) $ e quindi ho applicato T così
T( $ ( ( x),( y ) ) $)= T(x ...
Salve io mi stavo dedicando al capito di geometria nello spazio e arrivando più o meno a metà capitolo mi sono rimasti 3 esercizi che non sono assolutamente riuscito a fare in quanto tutte le mie prove mi hanno portato a risultati diversi da quelli effettivi.
1)Tra tutte le sfere tangenti al piano π : x+y+z-2=0 nel punto B = (1,-1,2) determinare quelle tangenti alla sfera ∑ : $ x^2+y^2+z^2=16 $
2)Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza determinata come intersezione di ∑ : ...
Determinare, tra tutti i cilindri a diagonale costante, quello con il miglior rapporto diametro-altezza che da origine al volume maggiore.
Riuscite a fare delle previsioni sul rapporto senza dover sfruttare i concetti di derivata?
Attenzione, su questo punto si sbagliò pure Keplero
ciao a tutti,
ho uno spazio vettoriale normato $V$, la norma induce una distanza che a sua volta induce una topologia metrica; ho quindi che è possibile definire una topologia sul mio spazio vettoriale.
detto ciò, vorrei verificare che rispetto a questa topologia le operazioni di somma di vettori e di prodotto per scalare sono continue (ho letto la definizione di spazio vettoriale topologico su wikipedia ).
cominciamo con la somma
$+:V times V to V$
la topologia su ...
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