Geometria nello spazio
Salve io mi stavo dedicando al capito di geometria nello spazio e arrivando più o meno a metà capitolo mi sono rimasti 3 esercizi che non sono assolutamente riuscito a fare in quanto tutte le mie prove mi hanno portato a risultati diversi da quelli effettivi.
1)Tra tutte le sfere tangenti al piano π : x+y+z-2=0 nel punto B = (1,-1,2) determinare quelle tangenti alla sfera ∑ : $ x^2+y^2+z^2=16 $
2)Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza determinata come intersezione di ∑ : $ x^2+y^2+z^2-9=0 $ e π : 2x+4y+4z-9=0, determinare quelle tangenti al piano x=3.
3)Determinare la lunghezza della proiezione ortogonale del segmento AB con A = (0,0,1) B = (1,2,3) sulla retta r :
{x-y+z=0
{x+y-z=0 (la retta è intersezione di 2 piani, non sapevo come fare la graffa grande)
Se non tutti i passaggi almeno quelli fondamentali per riuscire a risolverli ( la strada giusta ) anche perchè le ho provate tutte ormai, grazie in anticipo per chi risponderà.
1)Tra tutte le sfere tangenti al piano π : x+y+z-2=0 nel punto B = (1,-1,2) determinare quelle tangenti alla sfera ∑ : $ x^2+y^2+z^2=16 $
2)Fra tutte le sfere passanti per la circonferenza determinata come intersezione di ∑ : $ x^2+y^2+z^2-9=0 $ e π : 2x+4y+4z-9=0, determinare quelle tangenti al piano x=3.
3)Determinare la lunghezza della proiezione ortogonale del segmento AB con A = (0,0,1) B = (1,2,3) sulla retta r :
{x-y+z=0
{x+y-z=0 (la retta è intersezione di 2 piani, non sapevo come fare la graffa grande)
Se non tutti i passaggi almeno quelli fondamentali per riuscire a risolverli ( la strada giusta ) anche perchè le ho provate tutte ormai, grazie in anticipo per chi risponderà.
Risposte
Cominciamo dal primo. Per prima cosa, imposta le condizioni di tangenza della sfera generica e il piano e il passaggio per il punto dato. Che tipo di condizione devi scrivere affinché le sfere cercate e quella data siano tangenti?
Scusa il ritardo della risposta, in ogni caso non ho proprio capito cosa intendi con che tipo di condizione, potresti cercare di spiegarmi a cosa ti riferisci?
Mi sembra di essere stato chiarissimo: se hai un piano e una sfera, puoi scrivere una precisa condizione che implichi la tangenza tra i due. La conosci?
Si ho capito a quale ti riferisci, ma c'è sicuramente di sbagliato nei procedimenti che ho adottato(ne ho provati tanti) perchè i primi 2 sono molto simili ed è proprio lì il mio problema, il terzo l'ho risolto era veramente facile, a me servirebbe anche solo i passaggi logici per arrivare alla soluzione, i calcoli li faccio io; insomma il giusto procedimento in questi particolari 2 problemi perchè gli altri li ho risolti tutti, le formule le vado a rivedere se proprio non me le ricordo.
Cominciamo dal primo. La generica sfera è data dall'equazione
$$(x-\alpha)^2+(x-\beta)^2+(z-\gamma)^2=r^2$$
con $C(\alpha,\beta,\gamma)$ il centro della sfera e $r$ il suo raggio. Vediamo di esplicitare le condizioni.
1) il passaggio per $B$ impone che
$$(1-\alpha)^2+(-1-\beta)^2+(2-\gamma)^2=r^2$$
2) la condizione di tangenza sfera-piano ti permette di affermare che il centro dista dal piano esattamente $r$: pertanto usando la formula di distanza punto/piano si ha
$$r=\frac{|\alpha+\beta+\gamma-2|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot|\alpha+\beta+\gamma-1|$$
3) La seconda sfera ha centro in $O(0,0,0)$ e raggio $R=4$. La condizione di tangenza tra le due sfere implica che la distanza tra i loro centri deve essere pari alla somma dei loro raggi. Pertanto
$$\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}=r+4$$
Il sistema di tre equazioni in quattro incognite fornisce tutte le possibili sfere soddisfacenti la condizione cercata.
$$(x-\alpha)^2+(x-\beta)^2+(z-\gamma)^2=r^2$$
con $C(\alpha,\beta,\gamma)$ il centro della sfera e $r$ il suo raggio. Vediamo di esplicitare le condizioni.
1) il passaggio per $B$ impone che
$$(1-\alpha)^2+(-1-\beta)^2+(2-\gamma)^2=r^2$$
2) la condizione di tangenza sfera-piano ti permette di affermare che il centro dista dal piano esattamente $r$: pertanto usando la formula di distanza punto/piano si ha
$$r=\frac{|\alpha+\beta+\gamma-2|}{\sqrt{1+1+1}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\cdot|\alpha+\beta+\gamma-1|$$
3) La seconda sfera ha centro in $O(0,0,0)$ e raggio $R=4$. La condizione di tangenza tra le due sfere implica che la distanza tra i loro centri deve essere pari alla somma dei loro raggi. Pertanto
$$\sqrt{\alpha^2+\beta^2+\gamma^2}=r+4$$
Il sistema di tre equazioni in quattro incognite fornisce tutte le possibili sfere soddisfacenti la condizione cercata.
Ti ringrazio, sei stato molto utile.
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