Volume massimo

[donald_zeka]

Determinare, tra tutti i cilindri a diagonale costante, quello con il miglior rapporto diametro-altezza che da origine al volume maggiore.
Riuscite a fare delle previsioni sul rapporto senza dover sfruttare i concetti di derivata?
Attenzione, su questo punto si sbagliò pure Keplero

[Sk_Anonymous]

Ignoro cosa sia "la diagonale di un cilindro" e quindi si prenda la mia soluzione con beneficio d'inventario. Il volume da massimizzare ( vedi fig.) a meno di inessenziali costanti si scrive anche così ($alpha$ è l'angolo tra altezza h e "diagonale " d ):
$V=(1-cos^2 alpha) (cos ^2 alpha)^{1/2}$
Nell'intervallo ]$0,(pi)/2$[ le variabili $1-cos^2alpha, cos^2\alpha$ sono strettamente positive e la loro somma è =1 e dunque è costante. Per un noto teorema ( vedi viewtopic.php?f=47&t=114237&start=10)
il masssimo di V si ottiene quando è :
$(1-cos^2alpha)/1=(cos^2 alpha)/(1/2)$
da cui:
$cos alpha=sqrt{1/3},sin alpha =sqrt{2/3},tan alpha=sqrt 2$
Pertanto il miglior rapporto tra diametro ed altezza ( a cui corrisponde il volume masssimo) si ha per $tan alpha =sqrt 2$

[donald_zeka]

C'è qualcosa che non mi torna, il volume è V= pi(d^3/4)(sina^2*cosa)
dunque l'unica variabile è sina^2*cos, non capisco come questa si sia traformata in (1-cosa^2)*rad(cos^2) e da qui si sia passati a : (1-cosa^2)/2 = 2cosa^2

[Sk_Anonymous]

@Vulplasir
Parli di "diagonale di un cilindro". Ignori che $sin^2 alpha=1-cos^2alpha $. Non capisci che, essendo $cos alpha >0$, è certamente $sqrt{cos^2 alpha}=cos alpha $. Affermi che $sin^2 cos$ è un'unica variabile. Non usi il LaTeX. Non hai capito il classico bel nulla del riferimento a cui ti ho rimandato. Sorge spontanea la domanda ;
[size=150]" Ma ci fai o ci sei ? "[/size]

[donald_zeka]

1) La diagonale di un cilindro è il segmento che congiunge l'altezza e il diametro partenti da uno stesso punto della circonferenza di base, forse ti manca qualche concetto di geometria ...
2)Nella pagina in cui mi hai mandato hai esposto un teorema sul prodotto massimo tra due variabili a somme costanti senza la benchè minima dimostrazione o fonte...