Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buon pomeriggio, ho un esercizio sul quale riservo dei dubbi, l'esercizio in questione è il seguente:
"Si consideri lo spazio vettoriale $\R^3$, il suo sottospazio $V'={ (x,y,z)^T : x-2y=0 \}$ ed il vettore $v$ che appartiene a $V'$, $v=(2/\sqrt{5}, 1/\sqrt{5},0)$. Si determini una base ortonormale di $V'$ comprendente $v$."
Io ho ragionato così, ho considerato il vettore immagine del sottospazio, ossia il vettore $(1,-2,0)$ questo l'ho ...
Salve a tutti, avrei una serie di domande più o meno correlate sull'orientabilità (di una superficie) e il numero di bande...
1) Il concetto di orientabilità come esistenza di un atlante orientato su una varietà liscia nasce solo allo scopo di definire una teoria di integrazione su varietà oppure per formalizzare la particolarita del nastro di Moebius e simili?
2) Il numero di bande è una questione esclusivamente topologia e quindi ha una "definizione" propria scollegata dall'orientabilità?
3) ...
Salve a tutti,
ho la seguente iperbole $2xy -x-y$ non riesco a capire come si trova il diametro di questa iperbole. Ho trovato i punti impropri che sono $(1,0,0)$ e $(0,-2,0)$ ma utilizzando il metodo generale dove si ha : $(1,0,0)B^t(x,y,t)^t = (0,0,0)^t$
Ottengo infatti $x = 1/2$ e $y = 1/2$ che è il centro di questa iperbole ma non il diametro.
C'è qualcosa che mi sfugge.
Salve a tutti,
non so, e non trovo nulla in merito, come indicare, dato \( r \in A \), ove \( (A,B)\) e \((A,C)\) sono due spazi topologici, l'insieme degli intorni di \( r \) senza fare confusione tra i due spazi .. di solito ho sempre lavorato avendo un solo spazio topologico per ipotesi ergo usando \( \mathscr{I}(r)\) non mi creava alcuna ambiguità, in questo caso invece non so come rapportarmi con la/e scrittura/e, magari esiste un modo di scrivere più preciso il quale però mi sfugge; a ...
Scusate la domanda banale, ma proprio mi sfugge il ruolo del punto all'infinito...cos'è e a cosa serve?
Grazie mille a tutti
Sto avendo qualche problemino nel comprendere come risolvere il seguente esercizio, che voglio risolvere insieme a voi, con la speranza che qualcuno più bravo di me, riesca a consigliarmi.......
Determinare la forma canonica della seguente quadrica, ricavando le relazioni che permettono dii passare dalle coordinate della forma iniziale alle coordinate della forma canonica e viceversa.
$5x^2 - 4y^2 - 11z^2 - 24yz-10x-15=0$
Mi rendo conto che è una quadrica non degenere:
$A'= ( ( 5 , 0 , 0 , -5 ),( 0 , -4 , -12 , 0 ),( 0 , -12 , -11 , 0 ),( -5 , 0 , 0 , -15 ) ) $
...
Avrei una domanda su come sono definite le coniche / coniche degeneri.
Mettiamo che io debba classificare una conica (attraverso le matrici associate).
Arrivo alla conclusione che si tratta di una conica degenere.
Mettiamo si tratti di un ellisse degenere.
E' giusto affermare che ho per le mani un ellisse?
Cioè, quale delle seguenti definizioni della mia conica (ellisse degenere) è da considerarsi accettabile e quale invece no?
a) ellisse
b) ellisse degenere
c) un punto
d)...
Mi rendo ...
Buongiorno,
curiosità. Se mi viene data la matrice associata ad una trasformazione lineare, per determinare il valore di tale trasformazione sul generico vettore, ovvero se $A$ è la matrice e calcolo $A(x,y,z)^t$ al posto di $A$ posso usare la matrice ridotta che corrisponde ad $A$?
Grazie
Ciao ragazzi, ho un problema con un esercizio riguardante le basi.
Siano $ S = {(x, y, z) ∈ R^3| x + 5y − z = 0}, e T = {(x, y, z) ∈ R^3| 5x −y + z = 0}.$
Allora:
(a) trovare una base e la dimensione di $S e T$;
(b) trovare una base e la dimensione di $S ∩ T$;
(c) completare la base di S a una base di $R^3$.
io per la (a) ho fatto cosi:
per S
A=(1 5 -1) y=r; z=s; x=-5r+s
(-5r+s,r,s)=(-5r,r,0)+(s,0,s)
r(-5,1,0)+s(1,0,1)
sono indipendenti quindi B={(-5,1,0),(1,0,1)} dimS=2.
per T
A=(5 -1 1) x=r; z=s; ...
Ho fatto un esercizio sui vettori coordinati e ci sono riuscito. Ora però, con un altro esercizio, mi chiede di fare il procedimento inverso, cioè, dal vettore coordinato $C_B(\vec v)$ mi devo trovare il vettore $\vec v in RR^2$ tale che $C_B(\vec v) = (\alpha_1;alpha_2)=(1/2;3/7)$
Non so proprio come procedere per trovarmi il vettore.
Dovrei iniziare con una cosa del tipo $\vec v=1/2\vec v_1 + 3/7\vec v_2$ oppure già sto sbagliando procedimento? Anche perché $\vec v_1$ e $\vec v_2$ non me li dà.
dati \(\displaystyle v_1 = (1,1) v_2 = (0,0) v_3 = (-1,-1) \) dire se formano un sottospazio di \(\displaystyle R^2 \)
nell'esercizio l'insieme di vettori NON mi viene dato come sottospazio generato, cioè \(\displaystyle Span(v_1,v_2,v_3) \)
dato che nell'insieme di vettori c'è il vettore nullo, questo basta per dire che l'insieme di vettori formano un sottospazio?
per quanto riguarda base e dimensione come mi comporto dato che \(\displaystyle v_1 \) è \(\displaystyle v_3 \) sono ...
Salve a tutti, avrei un dubbio su una questione teorica riguardante auto valori e autovettori. Il dubbio è relativo al fatto che una volta trovati gli auto valori, nell'andare a cercare gli autovettori corrispondenti spesso capita che basti una sola equazione del sistema omogeneo dato dalla differenza della matrice di cui calcoliamo autovettori e autovalori e della matrice identitá moltiplicata per l'autovalore in questione, moltiplicate per il vettore delle x.
Provo a spiegarmi meglio spesso ...
Posto questa domanda per cercare di risolvere alcuni miei dubbi.
Supponiamo di avere un sottospazio vettoriale di $ U<=R^3 $ dove $U = <v_1,v_2>$ ad esempio $ U = <(1,2,0),(0,2,2)> $. Ora i due vettori che lo generano non sono ortogonali infatti il loro prodotto scalare e' diverso da 0. Quindi la base data non e' ortogonale. Calcolo una base ortogonale con il metodo di Gramm-Smith.
Pongo $ w_1' = v_1 = (1,2,0)$
Calcolo $ w_2' $
$ w_2' = v_2 - (v_2*w_1' )/(w_1' *w_1' ) *w_1' $
$ w_2' = (0,2,2)- ((0,2,2)*(1,2,0))/((1,2,0)(1,2,0)) *(1,2,0) = (-4/5,2/5,2)$
Ho trovato quindi una base ...
Buona sera a tutti.Volevo porvi un quesito rispetto una cosa che ho notato.Nella stragrande maggioranza delle formule per il calcolo del volume dei solidi,quasi tutte le formule vengono divise per 3 o un multiplo di tre,come per la piramide la sfera e la maggior parte dei solidi platonici,mentre per il Dodecaedro (http://it.wikipedia.org/wiki/Dodecaedro) la formula del volume comincia moltiplicando il tutto per 1/4.Qualcono sa dirmi il perchè? potete mostrarmi i passaggi dai quali si ottiene la suddetta formula?
Salve a tutti,
il mio scopo è trovare l'asse di simmetria di una parabola (conica in generale) sfruttando le proprietà del punto improprio.
Sia data la parabola di equaz. $x^2-2x+y$, facendo l'intersezione con il piano improprio ottengo che il punto improprio di questa parabola è $(0,1,0)$. Ora io so che data la retta $ax+by +ct = 0$, il punto improprio ha coordinate omogenee $(b,-a,0)$ e dividendo tutto per $b$ ottengo $(1,-a/b,0)$. Dove ...
Ciao a tutti,
purtroppo non riesco a risolvere un esercizio di geometria I, non so proprio da dove iniziare perchè le rette sono sghembe.
"Assegnate le rette r: $\{(x=z-1), (y=z):}$ ed s: $\{(x+y=0), (z=0):}$ ed i piani $\alpha$ : $y+z+1=0$ e $\beta$ : $x+3y+z=0$ si determinino le equazioni della retta propria t incidente r ed s e parallela ad $\alpha$ e $\beta$."
Ho il rivestimento $ p: \mathbb{R} \rightarrow \bb{S}^1$ definito come: $p(t)= (cos(2 \pi t), sin(2 \pi t)) $ e sia $T$ la topologia su $[0,1]$ definita come la meno fine che rende $p: [0,1] \rightarrow \bb{S}^1 $ continua.
Il mio dubbio è: questa topologia coincide con la topologia di sottospazio?
perchè ho considerato che affinché $T$ sia la meno fine che rende $p$ continua devo definire gli aperti di $[0,1]$ come: $ \bb{p}^-1 (U) \cap [0,1] $ con $U$ aperto di ...
Ciao a tutti,
ho la seguente funzione e^(y^3-4x^2-3y^2) ho fatto le derivate parziali rispetto ad x ed y e penso di averle fatte bene, ma ho dei dubbi dulle derivate parziali seconde della x rispetto alla y e viceversa questo è quello che mi esce :
derivata di y rispetto ad x= -8x(3y^2-6y)e^(y^3-4x^2-3y^2)
derivata di x rispetto ad y= -8(3y^2-6y)e^(y^3-4x^2-3y^2)
ho fatto bene?
Ultima cosa, come determino i punti di max e min assoluti di f nel rettangolo R=[-1,1]x[-2,2]??
Ciao. Qualcuno protrebbe darmi una via risolutiva per questo genere di esercizi Non so mai come devo procedere e cosa devo fare.
Sia f:R^3->R^3 l'endomorfismo tale che f( $ ( ( 5 ),( 5 ),( 5 ) ) $ = $ ( ( 15 ),( 15 ),(15 ) ) $ , f $ ( ( 1),( 2),( 3) ) $ = $ ( ( 4 ),( 5 ),( -3 ) ) $ , f $ (( -4),( 7 ),( -3 )) $=0.
Determinare la dimensione e una base di Imf. L'endomorfismo è diagonalizzabile? Se si trovare una base di R^3 costituita da autovettori di f.
Quale è la matrice su cui devo lavorare per trovare gli autovalori? Come si ...
Sia A $ ( ( 1 , 1 ),( 1, 1 ) ) $ ∈M2R. Trovare le matrici B∈M2r tali che A-B=(1+A)(A-B). Queste matrici B costituiscono un sottospazio di M2R? Se si che dimensione ha ?
Ho trovato la matrice B $ ( ( 0 , 0 ),( 2 , 2 ) ) $ Ma mi sono bloccata. Come faccio a fare il resto? Come dimostro che costituiscono un sottospazio?
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