Autovettori e auto valori

[tangarana]

Salve a tutti, avrei un dubbio su una questione teorica riguardante auto valori e autovettori. Il dubbio è relativo al fatto che una volta trovati gli auto valori, nell'andare a cercare gli autovettori corrispondenti spesso capita che basti una sola equazione del sistema omogeneo dato dalla differenza della matrice di cui calcoliamo autovettori e autovalori e della matrice identitá moltiplicata per l'autovalore in questione, moltiplicate per il vettore delle x.
Provo a spiegarmi meglio spesso le due equazioni, nel caso di matrice di partenza 2x2 danno stesso risultato, c'è una spiegazione matematica alla base?
Grazie

[garnak.olegovitc1]

"tangarana":Salve a tutti, avrei un dubbio su una questione teorica riguardante auto valori e autovettori. Il dubbio è relativo al fatto che una volta trovati gli auto valori, nell'andare a cercare gli autovettori corrispondenti spesso capita che basti una sola equazione del sistema omogeneo dato dalla differenza della matrice di cui calcoliamo autovettori e autovalori e della matrice identitá moltiplicata per l'autovalore in questione, moltiplicate per il vettore delle x.
Provo a spiegarmi meglio spesso le due equazioni, nel caso di matrice di partenza 2x2 danno stesso risultato, c'è una spiegazione matematica alla base?
Grazie

sperando di aver capito la questione, penso sia solo un caso (o almeno non mi viene nulla in mente di particolare), alla fine di tutti i calcoli la matrice che ottieni sostituendo l'autovalore avrà le due righe proporzionali, penso rientri anche nella teoria (la molteplità geometrica deve essere minore uguale di quella algebrica la quale è minore uguale del numero delle righe della matrice quadrata)... se hai tra le mani un esempio magari puoi postarlo!
Saluti

[tangarana]

Esempio:
Matrice A: $ ( ( 1 , 2 ),( 3 , 4 ) ) $
Gli autovalori calcolati sono
$ lambda1 = 5.372

lambda2 = -0.372 $

Resta da fare (A - $ lambda I $ ) * $ ( ( x1 ),( x2 ) ) $ = 0

Facendo il sistema per $ lambda1 $ ottengo:

x2 = 4.372/2 x1
x2 = 3/1.372 x1

Il rapporto è uguale, come se si trattasse di due rette sovrapposte. C'è un senso a tutto ciò?! C'è qualcosa dietro gli autovalori e autovettori che mi sfugge?! Grazie

[vict85]

[xdom="vict85"]Sposto in geometria e algebra lineare.[/xdom]

[vict85]

Se ho capito il tuo dubbio il fatto è piuttosto semplice: \(A - \lambda I\) ha rango 1 (altrimenti il sistema avrebbe avuto la sola soluzione nulla). In alcuni casi comunque si potrebbe avere rango 0.

[garnak.olegovitc1]

@tangrana,

"tangarana":Esempio:
Matrice A: $ ( ( 1 , 2 ),( 3 , 4 ) ) $
Gli autovalori calcolati sono
$ lambda1 = 5.372
lambda2 = -0.372 $
Resta da fare (A - $ lambda I $ ) * $ ( ( x1 ),( x2 ) ) $ = 0
Facendo il sistema per $ lambda1 $ ottengo:
x2 = 4.372/2 x1
x2 = 3/1.372 x1
Il rapporto è uguale, come se si trattasse di due rette sovrapposte. C'è un senso a tutto ciò?! C'è qualcosa dietro gli autovalori e autovettori che mi sfugge?! Grazie

perchè hai sviluppato la frazione!?[nota]cioè: \(\displaystyle 2,186=\frac{4,372}{2}\neq \frac{3}{1,372}=2,186588921...\) è anche periodico con un numero di cifre periodiche pari a \(294\) [/nota] Se sai risolvere i sistemi lineari dovresti capire il motivo di quel risultato, gli autovalori sono \( \frac{5-\sqrt{33}}{2}=:\lambda_2\) e \( \frac{5+\sqrt{33}}{2}:=\lambda_1\).. per quest'ultimo ottieni: $$\begin{Vmatrix}
1- \frac{5+\sqrt{33}}{2}&2 \\
3& 4-\frac{5+\sqrt{33}}{2}
\end{Vmatrix}\cdot \begin{Vmatrix}
x\\
y
\end{Vmatrix}=\begin{Vmatrix}
0\\
0
\end{Vmatrix}$$ facendo un po di calcoli, sperando di non aver fatto errori, ottieni il sistema associato $$\Sigma:=\left\{\begin{matrix}
\frac{-3-\sqrt{33}}{2}x+2y=0\\
3x+\frac{3-\sqrt{33}}{2}y=0
\end{matrix}\right.$$ adesso ti basta studiarlo, è un sistema omogeneo con matrice incompleta associata uguale ad \(A(\Sigma):=\begin{Vmatrix}
\frac{-3-\sqrt{33}}{2}&2 \\
3& \frac{3-\sqrt{33}}{2}
\end{Vmatrix}\), noterai che \( \det(A(\Sigma))=0\) ergo \(\Sigma\) è compatible ma indeterminato con \( \infty^1\) soluzioni e \( 1 \) incognita libera.. detto ciò, \(\Sigma\) è equivalente al sistema \(\left\{\begin{matrix}
\frac{-3-\sqrt{33}}{2}x+2y=0\\
\end{matrix}\right.\)

Saluti

P.S.= E' esattamente quanto detto da vict85

[tangarana]

Ok Garnak, ammetto che ero un pò all'asciutto su autovalori e autovettori, la frazione l'ho trovata sviluppata, e pur calcolando gli autovalori senza sviluppo mi serviva rimembrare certe regole. Ad ogni modo, visto che ci troviamo, ti sarei grato se mi chiarissi un'altra cosa: sará sempre così giusto il risultato!?cioè n-1 equazioni dipendenti ed una sola indipendente, proprio per come costruiamo il polinomio caratteristico?

[vict85]

No, affatto. Le radici del polinomio caratteristico possono avere molteplicità maggiore di \(1\) (e a quel punto entrerà in gioco anche la molteplicità geometrica ma forse non l'hai ancora vista dati i tuoi dubbi). In quel caso si potrebbe avere un sistema di rango \(n-m\) con un \(m\) minore o uguale alla molteplicità algebrica della radice. Per completare il tutto dovresti vedere la teoria di Jordan ma non è così comune nei primi corsi di algebra lineare.