Forma canonica di Jordan dell'inversa di una matrice (invertibile) che era già in forma di Jordan

[isaac888]

Qualcuno per favore mi puo' dare un riferimento libresco o su internet su cui trovare qualcosa che parli della forma canonica di Jordan dell'inversa di una matrice (invertibile) già espressa in forma di Jordan?

Grazie a chi mi rispondera'.

[isaac888]

Ho provato a dimostrare qualcosa da solo. Ditemi almeno se sto sbagliando magari...

Premessa: (siamo su campo $\mathbb{C}$ ed $A\inGL(V)$)
dim:
Posso supporre senza perdita di generalità che la matrice invertibile $A$ sia fatta di un solo blocco di dimensione $k$ autovalore $\lambda$. Perciò:

$$A=\begin{pmatrix} \lambda & 1 & & & \\
& \lambda & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \lambda & 1 \\
& & & & \lambda
\end{pmatrix}$$

A questo livello la forma di $A^{-1}$ sarà della forma:
$$ A^{-1}=\begin{pmatrix} \mu & * & * & \cdots & * \\
& \mu & * & \cdots & * \\
& & \ddots & \ddots & \vdots \\
& & & \mu & * \\
& & & & \mu
\end{pmatrix}$$
Dove $\mu:=\frac{1}{\lambda}$ (si dimostra facilmente).
A questo punto cerco $J(A^{-1})$. Essa sarà:
$$J(A^{-1})=\begin{pmatrix} \mu & * & & & \\
& \mu & * & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \mu & * \\
& & & & \mu
\end{pmatrix}$$
Ora faccio vedere che tutti gli asterischi sono degli $1$. Infatti, se il polinomio minimo di $A^{-1}$ avesse grado minore di $k$, si avrebbero necessariamente almeno 2 blocchi per $A^{-1}$ corrispondenti a due autovettori linearmente indip. relativi a $\mu$. Essi dovrebbero essere autovettori anche per $A$ che allora avrebbe almeno 2 blocchi relativi a $\lambda$, contro le ipotesi, e quindi è assurdo.

Allora il grado del polinomio minimo di $A^{-1}$ è massimo, come quello di $A$, e perciò la forma di Jordan di $A^{-1}$ è:
$$J(A^{-1})=\begin{pmatrix} \mu & 1 & & & \\
& \mu & 1 & & \\
& & \ddots & \ddots & \\
& & & \mu & 1 \\
& & & & \mu
\end{pmatrix}$$
A differenza del caso in cui $J(A)$ è una matrice diagonale, le forme di Jordan non sono nè una l'inversa dell'altra, nè sembra a priori ovvio che esista una base che jordanizzi entrambe. Infatti una base di Jordan per $A$ è della forma $\{g^{k-1}(v),...,g(v),v\}$ (base ciclica), dove $v$ è tale che $g^{k-1}(v)\ne 0$ e $g:=L_A-\lambda id$ che è triangolabile e nilpotente di ordine $k$.
In quella base non è dato sapere se $A^{-1}$ si scriva in forma di Jordan.

Ditemi se è giusto o si puo dire qualcos'altro per favore... grazie