Sottospazio insieme di vettori
dati \(\displaystyle v_1 = (1,1) v_2 = (0,0) v_3 = (-1,-1) \) dire se formano un sottospazio di \(\displaystyle R^2 \)
nell'esercizio l'insieme di vettori NON mi viene dato come sottospazio generato, cioè \(\displaystyle Span(v_1,v_2,v_3) \)
dato che nell'insieme di vettori c'è il vettore nullo, questo basta per dire che l'insieme di vettori formano un sottospazio?
per quanto riguarda base e dimensione come mi comporto dato che \(\displaystyle v_1 \) è \(\displaystyle v_3 \) sono opposti?
nell'esercizio l'insieme di vettori NON mi viene dato come sottospazio generato, cioè \(\displaystyle Span(v_1,v_2,v_3) \)
dato che nell'insieme di vettori c'è il vettore nullo, questo basta per dire che l'insieme di vettori formano un sottospazio?
per quanto riguarda base e dimensione come mi comporto dato che \(\displaystyle v_1 \) è \(\displaystyle v_3 \) sono opposti?
Risposte
@JWilmot,
si, il fatto che il vettore nullo deve appartenere al sottospazio lo si deduce dalla condizione $$ \forall \alpha \in \mathbf{K}, v \in V(\alpha \cdot v \in V)$$ con \( \emptyset \neq V \) sottoinsieme dello spazio vettoriale \(T\) (sul campo \( \mathbf{K}\))..
se tu hai \( V:=\{(1,1),(0,0),(-1,-1)\} \subseteq \Bbb{R}^2=T\), con campo \( \mathbf{K}=\Bbb{R}\), applicando la condizione di sopra per \( \alpha=0_{\mathbf{K}}\) puoi ancora dire che è \(V \) è sottospazio vettoriale?
Saluti
[modificato: mi sono reso conto di aver espresso il concetto male..]
"JWilmot":
dati \(\displaystyle v_1 = (1,1) v_2 = (0,0) v_3 = (-1,-1) \) dire se formano un sottospazio di \(\displaystyle R^2 \)
nell'esercizio l'insieme di vettori NON mi viene dato come sottospazio generato, cioè \(\displaystyle Span(v_1,v_2,v_3) \)
dato che nell'insieme di vettori c'è il vettore nullo, questo basta per dire che l'insieme di vettori formano un sottospazio?
si, il fatto che il vettore nullo deve appartenere al sottospazio lo si deduce dalla condizione $$ \forall \alpha \in \mathbf{K}, v \in V(\alpha \cdot v \in V)$$ con \( \emptyset \neq V \) sottoinsieme dello spazio vettoriale \(T\) (sul campo \( \mathbf{K}\))..
se tu hai \( V:=\{(1,1),(0,0),(-1,-1)\} \subseteq \Bbb{R}^2=T\), con campo \( \mathbf{K}=\Bbb{R}\), applicando la condizione di sopra per \( \alpha=0_{\mathbf{K}}\) puoi ancora dire che è \(V \) è sottospazio vettoriale?
Saluti
[modificato: mi sono reso conto di aver espresso il concetto male..]
"garnak.olegovitc":
@JWilmot,
[quote="JWilmot"]dati \(\displaystyle v_1 = (1,1) v_2 = (0,0) v_3 = (-1,-1) \) dire se formano un sottospazio di \(\displaystyle R^2 \)
nell'esercizio l'insieme di vettori NON mi viene dato come sottospazio generato, cioè \(\displaystyle Span(v_1,v_2,v_3) \)
dato che nell'insieme di vettori c'è il vettore nullo, questo basta per dire che l'insieme di vettori formano un sottospazio?
il fatto che il vettore nullo deve appartenere al sottospazio lo si deduce dalla condizione $$ \forall \alpha \in \mathbf{K}, v \in V(\alpha \cdot v \in V)$$ con \( \emptyset \neq V \) sottoinsieme dello spazio vettoriale \(T\) (sul campo \( \mathbf{K}\))..
Se il tuo sottoinsieme era il singoletto del vettore nullo allora è banalmente sottospazio vettoriale e quanto dici è esatto, in caso contrario non basta... se tu hai \( V:=\{(1,1),(0,0),(-1,-1)\} \subseteq \Bbb{R}^2=T\) applicando la condizione di sopra, con campo \( \mathbf{K}=\Bbb{R}\), puoi ancora dire che è \(V \) è sottospazio vettoriale?
Saluti[/quote]
mmm... no? xD
Se moltiplico uno scalare qualsiasi (tranne -1) per un vettore del sottoinsieme che mi è stato dato, non ottengo un vettore dello stesso sottoinsieme.. giusto?
perdonami se dico qualche str*****a ma sono proprio esercizi così banali a farti venire dei dubbi
@JWilmot,
esattamente, ti basta un controesempio per dire che non è sottospazio vettoriale, prendi \((1,1)=v \in V \) ed \( \alpha=3 \in \mathbf{K}\), il loro prodotto (esterno) \( \alpha \cdot v= 3 \cdot (1,1)=(3,3) \notin V\) (si dice anche che \( V \) non è chiuso/stabile rispetto all'operazione (esterna binaria) \(\cdot: \mathbf{K} \times V \to V \).. )
Saluti
"JWilmot":
mmm... no? xD
Se moltiplico uno scalare qualsiasi (tranne -1) per un vettore del sottoinsieme che mi è stato dato, non ottengo un vettore dello stesso sottoinsieme.. giusto?
esattamente, ti basta un controesempio per dire che non è sottospazio vettoriale, prendi \((1,1)=v \in V \) ed \( \alpha=3 \in \mathbf{K}\), il loro prodotto (esterno) \( \alpha \cdot v= 3 \cdot (1,1)=(3,3) \notin V\) (si dice anche che \( V \) non è chiuso/stabile rispetto all'operazione (esterna binaria) \(\cdot: \mathbf{K} \times V \to V \).. )
Saluti
Grazie mille!!!!! 
"JWilmot":
Grazie mille!!!!!
Prego .. ciao
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