Base ortonormale
Buon pomeriggio, ho un esercizio sul quale riservo dei dubbi, l'esercizio in questione è il seguente:
"Si consideri lo spazio vettoriale $\R^3$, il suo sottospazio $V'={ (x,y,z)^T : x-2y=0 \}$ ed il vettore $v$ che appartiene a $V'$, $v=(2/\sqrt{5}, 1/\sqrt{5},0)$. Si determini una base ortonormale di $V'$ comprendente $v$."
Io ho ragionato così, ho considerato il vettore immagine del sottospazio, ossia il vettore $(1,-2,0)$ questo l'ho normalizzato e quindi risulta $1/\sqrt{5}(1,-2,0)$.
i due vettori sono ortogonali tra di loro e quindi insieme formano una base ortonormale, infine ho aggiunto il vettore $e_3$ per completare la base a un vettore che sia ortonormale rispetto agli altri.
\begin{pmatrix}
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} & 0\\
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5}& 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
Mi potreste dire gentilmente se questo ragionamento è corretto o meno, o comunque se potreste darmi qualche spiegazione su questo argomento?
Grazie mille in anticipo
Francesco
"Si consideri lo spazio vettoriale $\R^3$, il suo sottospazio $V'={ (x,y,z)^T : x-2y=0 \}$ ed il vettore $v$ che appartiene a $V'$, $v=(2/\sqrt{5}, 1/\sqrt{5},0)$. Si determini una base ortonormale di $V'$ comprendente $v$."
Io ho ragionato così, ho considerato il vettore immagine del sottospazio, ossia il vettore $(1,-2,0)$ questo l'ho normalizzato e quindi risulta $1/\sqrt{5}(1,-2,0)$.
i due vettori sono ortogonali tra di loro e quindi insieme formano una base ortonormale, infine ho aggiunto il vettore $e_3$ per completare la base a un vettore che sia ortonormale rispetto agli altri.
\begin{pmatrix}
2/\sqrt{5} & 1/\sqrt{5} & 0\\
1/\sqrt{5} & -2/\sqrt{5}& 0\\
0 & 0 & 1
\end{pmatrix}
Mi potreste dire gentilmente se questo ragionamento è corretto o meno, o comunque se potreste darmi qualche spiegazione su questo argomento?
Grazie mille in anticipo
Francesco
Risposte
Non ho ben capito cosa sia per te il vettore immagine (mai sentita questa definizione). Comunque ti faccio presente che il vettore che hai scritto tu non appartiene a $V'$: i vettori in tale spazio hanno la forma $(\alpha, 2\alpha, \beta)$ e quindi puoi scegliere come vettore $w=(1,2,0)$, oppure $w=(0,0,1)$. Ora, $\dim V'=2$ (perché?) e quindi basta usare i vettori $v, w$ per creare una base ortonormale. Per farlo, puoi usare il procedimento di Gram-Schimdt.
P.S.: a cosa ti serve un terzo vettore? Mica devi determinare una base ortonormale di $RR^3$.
P.S.: a cosa ti serve un terzo vettore? Mica devi determinare una base ortonormale di $RR^3$.
Grazie mille per la risposta, la cosa che non ho ancora ben capito è come trovare un vettore che appartenga a un sottospazio. In parole povere come hai fatto a ricavarti il generico vettore di $V'$ ossia $(\alpha,2\alpha,\beta)$? Mi dispiace ma non so come rispondere al tuo perchè, se me lo potresti spiegare te ne sarei grato.
la base ortonormale di V' avrà dimensione due, in quanto una qualsiasi base di V' ha dimensione due, di conseguenza non ha molto senso aggiungere il vettore della base canonica. E per ottenerne una ortonormale basti seguire il procedimento di Gram-Schmidt.
per quanto riguarda il generico vettore di V' io scriverei $ ( (2alpha ), (alpha ), (beta ) ) $
per quanto riguarda il generico vettore di V' io scriverei $ ( (2alpha ), (alpha ), (beta ) ) $
L'equazione che definisce $V'$ richiede che $x-2y=0$, cioè che $x=2y$. Dal momento che un generico vettore in $V'$ è $(x,y,z)$, la condizione precedente implica che $(2y,y,z)$ sia la forma corretta (sì, prima ho messo il 2 al posto sbagliato). Questo vuol dire che puoi liberamente scegliere valori di $y,\ z$ in $RR$ in modo da ottenere vettori di $V'$. Ecco da cosa viene quella forma.
ok grazie mille a tutti per le risposte 
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