Determinare la forma Canonica

[Bad90]

Sto avendo qualche problemino nel comprendere come risolvere il seguente esercizio, che voglio risolvere insieme a voi, con la speranza che qualcuno più bravo di me, riesca a consigliarmi.......

Determinare la forma canonica della seguente quadrica, ricavando le relazioni che permettono dii passare dalle coordinate della forma iniziale alle coordinate della forma canonica e viceversa.

$5x^2 - 4y^2 - 11z^2 - 24yz-10x-15=0$

Mi rendo conto che è una quadrica non degenere:

$A'= ( ( 5 , 0 , 0 , -5 ),( 0 , -4 , -12 , 0 ),( 0 , -12 , -11 , 0 ),( -5 , 0 , 0 , -15 ) ) $

$A = ( ( 5 , 0 , 0 ),( 0 , -4 , -12 ),( 0 , -12 , -11 )) $

$det(A')=10000$ con $rg(A')=4$ quindi è non degenere.

$det(A)=-500$ con $rg(A)=4$

Ricerco gli autovalori da $A$ e trovo che:

$lambda_1=5$; $lambda_2=5$; $lambda_3=-20$

Sono autovalori discordi e quindi è un Iperboloide.

Sappiamo che la forma canonica della quadrica è del tipo:

$ax^2 +- by^2+-cz^2-1=0$

Allora cerchiamo una equazione del tipo:

$lambda_1x^2 + lambda_2y^2 + lambda_3z^2 + t=0$ che nel caso nostro è:

$5x^2 + 5y^2 -20z^2 + t=0$

A cui associamo la matrice $B$:

$ B= ( ( 5 , 0 , 0 , 0 ),( 0 , 5 , 0 , 0 ),( 0 , 0 , -20 , 0 ),( 0 , 0 , 0 , t ) ) $

Siccome il determinante di $A'$ è un invariante, allora $det(B)=det(A')$ e possiamo ricavare la $t$:

$-500t=10000=>t=-20$

Posso dunque scrivere la forma canonica:

$5X^2 + 5Y^2 -20Z^2 - 20=0=>1/4X^2 + 1/4Y^2 - Z^2 -1=0$

Ovviamente ho una traslazione che è evidente nella quadrica iniziale:

$5x^2 - 4y^2 - 11z^2 - 24yz-10x-15=0$

$................................-10x-15=0$ Correggetemi se sto sbagliando!

Perciò ricavo il centro dalla seguente $A|-h$

$( ( 5 , 0 , 0 ),( 0 , -4 , -12 ),( 0 , -12 , -11 ))|( ( 5 ),( 0 ),( 0 ) ) => { ( x=1 ),( y=0 ),( z=0 ):} $

Quindi il centro è $C=(1,0,0)$

E adesso come faccio a trovare la rotazione????????????????????????????????????????????????

[Bad90]

Ti posso chiedere per favore se puoi scrivere i passaggi che hai fatto in questo punto????

"mariox89":
Con questa rotazione, l'equazione della quadrica diventa :
$(x')^2-2x'+(y')^2-4(z')^2-3=0$

Insomma, come sei arrivato a questa???

$(x')^2-2x'+(y')^2-4(z')^2-3=0$

[Bad90]

Ho un piccolo dubbio......

Se io ho la matrice che è:

$A= ( ( 1 , 0 , -2 ),( -1 , 1 , 3 ),( 2 , 1 , -3 ),( 0 , 1 , 1 ) ) $

E mi viene chiesto:

Indicare basi per lo spazio delle righe e per lo spazio delle colonne di $A$.

Come devo rispondere????


Io ho interpretato la domanda in questo modo:

-Scrivo i vettori colonna come $v_1 = (1,-1,2,0);v_2 = (0,1,1,1);v_3=(-2,3,-3,1)$, imposto il seguente sistema:

$ { ( x-y+2z=0 ),( y+z+t=0 ),( -2x+3y-3z+t=0 ):} $

E da questo mi viene che:
$(x,y,z,t)=t(-1,-1,0,1)+z(-3,-1,1,0)$

Quindi la base data dalle colonne è:

$B={(-1,-1,0,1),(-3,-1,1,0)}$

Ho detto bene per le colonne???

E invece se devo verificare la base dei vettori riga, faccio lo stesso discorso, sol oche lo spazio è in $R^3$........ !

E' così che si fa????