Indicare rispettivamente \( \mathscr{I}(r)=\text{insieme degli intorni di }r\) con due spazi topologici...

[garnak.olegovitc1]

Salve a tutti,
non so, e non trovo nulla in merito, come indicare, dato \( r \in A \), ove \( (A,B)\) e \((A,C)\) sono due spazi topologici, l'insieme degli intorni di \( r \) senza fare confusione tra i due spazi .. di solito ho sempre lavorato avendo un solo spazio topologico per ipotesi ergo usando \( \mathscr{I}(r)\) non mi creava alcuna ambiguità, in questo caso invece non so come rapportarmi con la/e scrittura/e, magari esiste un modo di scrivere più preciso il quale però mi sfugge; a fronte di ciò chiedo qualche delucidazione per evitare di creare modi di scrivere personalizzati e poco universali! Ringrazio a priori!
Saluti

[Epimenide93]

Io scriverei \( \mathscr{I}_{B}(r)\) e \( \mathscr{I}_{C}(r)\), non so quanto sia diffusa come notazione, ma mi sembra pratica, poco ambigua e immediatamente comprensibile se le ipotesi sono state presentate per bene.

[garnak.olegovitc1]

ciao Epimenide93,
capito, grazie intanto della risposta , non per guastare quanto detto.. ma se avessi medesima topologia? Cioè mi può capitare un caso con due spazi topologici aventi medesima topologia? se la risposta è no, allora abbraccio la tua scrittura , se invece è si non sarebbe meglio, tagliando la testa al toro, \( \mathscr{I}_{(A,B)}(r)\) e \( \mathscr{I}_{(A,C)}(r)\) ?? spero di non aver creato/detto delle oscenità ...

[Epimenide93]

"garnak.olegovitc":mi può capitare un caso con due spazi topologici aventi medesima topologia?

La domanda è un po' ambigua (in realtà è la pratica ad esserlo). La risposta "giusta" è no, una topologia su \(X\) è un sottoinsieme dell'insieme delle parti, che in particolare contiene (tra le altre cose) lo spazio stesso, che risulta essere il massimo in \(\mathcal{P}(X)\) rispetto a \(\subseteq\), è facile concludere che se hai due spazi topologici con la stessa topologia in realtà hai la stessa coppia \(\rm (insieme, spazio \ topologico)\), ovvero sei in un unico spazio topologico. Quindi la notazione da me suggerita non può creare ambiguità.

Esistono "tipologie di topologie"[nota][/nota] definite attraverso le loro caratteristiche, che possono essere indotte su molti/tutti gli insiemi (banale, discreta, euclidea, cofinita, di Zariski...) e di solito quando ciò non crea ambiguità si tende ad indicarle sempre con la stessa lettera, ma a rigore queste topologie indotte su spazi diversi sono topologie diverse, quindi, ad esempio, se hai \(X\) ed \(Y\) distinti, entrambi con la topologia discreta, le due topologie saranno ovviamente diverse (anche se della stessa tipologia) e questa distinzione andrà messa in evidenza usando simboli diversi per le due topologie (una notazione diversa non avrebbe senso).

[garnak.olegovitc1]

"Epimenide93":
La domanda è un po' ambigua (in realtà è la pratica ad esserlo).

si scusami, sono agli albori della topologia... mi venne in mente questo pensiero e l'ho buttato così con pochi strumenti tra le mani

"Epimenide93": La risposta "giusta" è no, una topologia su \(X\) è un sottoinsieme dell'insieme delle parti, che in particolare contiene (tra le altre cose) lo spazio stesso, che risulta essere il massimo in \(\mathcal{P}(X)\) rispetto a \(\subseteq\), è facile concludere che se hai due spazi topologici con la stessa topologia in realtà hai la stessa coppia \(\rm (insieme, spazio \ topologico)\), ovvero sei in un unico spazio topologico. Quindi la notazione da me suggerita non può creare ambiguità.

mmm fammi capire, quindi potrei formulare $$(A,B) \text{ e }(C,B)\text{ sono due spazi topologici} \Rightarrow A=C$$ corretto?

[Epimenide93]

"garnak.olegovitc":si scusami, sono agli albori della topologia, quindi mi venne in mente questo pensiero e l'ho buttato così

Macché, scherzi? In realtà c'è un po' di ambiguità nella terminologia in uso, la tua domanda è più che lecita.

"garnak.olegovitc":mmm fammi capire, quindi potrei formulare $$(A,B) \text{ e }(C,B)\text{ sono due spazi topologici} \Rightarrow A=C$$ corretto?

Volendo, sì, la dimostrazione è prevalentemente insiemistica.

EDIT:

"Epimenide93":che risulta essere il massimo in \(\mathcal{P}(X)\) rispetto a \(\subseteq\)

Pardon, questo è vero ma nella fattispecie è inutile, volevo dire il massimo nella topologia rispetto a \(\subseteq\).

[garnak.olegovitc1]

"Epimenide93":
Volendo, sì, la dimostrazione è prevalentemente insiemistica.

vediamo se ho azzeccato i passaggi deduttivi :

per ipotesi \(B \subseteq \mathscr{P}(A) \wedge B \subseteq \mathscr{P}(C)\), dovendo dimostrare \( A=C \equiv A \subseteq C \wedge C \subseteq A \) so che \( \forall X \in B(X \subseteq A)\) ergo \( \forall y \in X(y \in A)\), ma \( \forall Z \in B(Z \subseteq C)\) allora \( X \subseteq C\) ergo \(y \in C\) concludendo che \( A \subseteq C \); se ragiono in modo equivalente partendo da \( \forall X \in B(X \subseteq C)\)... ottengo che \( C \subseteq A \) confermando in toto la tesi

sbaglio qualcosa?

[Epimenide93]

"garnak.olegovitc":sbaglio qualcosa?

Guarda bene. Non hai mica dimostrato che \(\forall x \in A (x \in C) \). Attento, non stai usando l'ipotesi che \( B \) sia una topologia, stai solo usando il fatto che \(B\) è contenuto nei rispettivi insiemi delle parti. Se prendo due sottoinsiemi \( A \) e \( C \) distinti, entrambi contenuti in un insieme \(D\) e poi prendo \(\mathscr{P}(A) \cap \mathscr{P}(C) \), o un suo sottoinsieme ottengo un esempio che dimostra che non è un'ipotesi sufficiente. Usa la relazione d'ordine \(\subseteq\). Oppure il fatto che \( \bigcup B \) ricopre sia \(A\) che \(C\).

[garnak.olegovitc1]

mi puzzava in effetti di ragionamento facilone... che intendi per ricoprimento?

[Epimenide93]

Che \(\bigcup B = A\) e \(\bigcup B = C\).

[garnak.olegovitc1]

@Epimendie93,

"Epimenide93":Che \(\bigcup B = A\) e \(\bigcup B = C\).

porca miseria... hai ragione, ricordavo male gli assiomi di spazio topologico (cioè non ricordavo affatto che dato \((a,b)\) spazio topologico allora per definizione \( a \in b\) e quindi palesemente \( \bigcup b =a\) OMG).. devo fare più attenzione! E comunque sia, ti ringrazio per la precisazione e il sostegno (adesso lo ricorderò per tutta la vita che \( a \in b\) ), ora sono più convinto di usare la tua scrittura.. thanks a lot! bye bye

[j18eos]

Veramente la lettera giusta non è la "I" ma la "U", o per i fondamentalisti sarebbe la "V" di voisinage (intorno in francese)!

Esempio: l'insieme degli intorni di \(\displaystyle0\) in \(\displaystyle(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})\) si indica con \(\displaystyle\mathcal{U}_{(\mathbb{R},\mathcal{T}_{nat})}(0)\)!