[ESERCIZIO] - Dimensione sottospazio in funzione della caratteristica
Buongiorno. Volevo chiedervi una cosa riguardo a un esercizio che ho trovato in rete.
Dato un campo \(\displaystyle A \) e l'usuale spazio vettoriale \(\displaystyle A^4 \), dati i due sottospazi \(\displaystyle B = <(3,2,1,0), (2,0,2,\alpha), (6,5,8,1)> \) e \(\displaystyle C = <(5,4,1,0),(2,0,6,\beta)> \), si deve determinare la dimensione di \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \) in funzione della caratteristica di \(\displaystyle A \).
Siccome un campo ha caratteristica \(\displaystyle 0 \) o un numero primo \(\displaystyle p \), analizzo i vari casi (faccio bene riducendo la matrice corrispondente ai vettori dati?):
Dato un campo \(\displaystyle A \) e l'usuale spazio vettoriale \(\displaystyle A^4 \), dati i due sottospazi \(\displaystyle B = <(3,2,1,0), (2,0,2,\alpha), (6,5,8,1)> \) e \(\displaystyle C = <(5,4,1,0),(2,0,6,\beta)> \), si deve determinare la dimensione di \(\displaystyle B \) e \(\displaystyle C \) in funzione della caratteristica di \(\displaystyle A \).
Siccome un campo ha caratteristica \(\displaystyle 0 \) o un numero primo \(\displaystyle p \), analizzo i vari casi (faccio bene riducendo la matrice corrispondente ai vettori dati?):
- \(\displaystyle carA = 0, carA = 3 \rightarrow dimB = 3, dimC = 2, \forall \alpha, \beta \in A\)
\(\displaystyle carA = 2 \rightarrow dimB = 2, dimC = 1, \forall \alpha, \beta \in 2A; dimB = 3, dimC = 2, \forall \alpha, \beta \in 2A+1\)[/list:u:1i6sbj16]
Mi fermo a 3? Come faccio a capire quanti casi devo analizzare?
Risposte
Considerando i numeri presenti, io direi che devi esaminare i casi $0,\ 2,\ 3,\ 5$, non credi?
"ciampax":
Considerando i numeri presenti, io direi che devi esaminare i casi $0,\ 2,\ 3,\ 5$, non credi?
giusto, hai ragione. mi sono persa in un bicchiere d'acqua...
quindi
- \(\displaystyle carA = 5 \rightarrow dimB = 3, dimC = 2 \forall \alpha, \beta \in A \)[/list:u:1yd0xfjz]
sono giusti i conti?
Mi sembra tutto corretto.
"ciampax":
Mi sembra tutto corretto.
meno male! grazie mille dell'aiuto!
Invece, non mi sembra corretto questo.
Per esempio, la dimensione di $B$ e' $3$ se la caratteristica di $A$ non e' $2$ oppure $7$.
Invece, se $A$ ha caratteristica $7$, la dimensione di $B$ e’ $2$ per $\alpha=1$.
E se $A$ ha caratteristica $2$, la dimensione di $B$ e’ $2$ per $\alpha=0$.
Per esempio, la dimensione di $B$ e' $3$ se la caratteristica di $A$ non e' $2$ oppure $7$.
Invece, se $A$ ha caratteristica $7$, la dimensione di $B$ e’ $2$ per $\alpha=1$.
E se $A$ ha caratteristica $2$, la dimensione di $B$ e’ $2$ per $\alpha=0$.
"Stickelberger":
E se $A$ ha caratteristica $2$, la dimensione di $B$ e’ $2$ per $\alpha=0$.
scusami, se \(\displaystyle carA = 2 \), \(\displaystyle B = <(1,0,1,0), (0,0,0,\alpha), (0,1,0,1)> \) quindi
- se \(\displaystyle \alpha \in [0]_2 \), \(\displaystyle dimB = 2 \)
se \(\displaystyle \alpha \in [1]_2 \), \(\displaystyle dimB = 3 \)
[/list:u:3uh9o8lr]
perché considerare anche il caso \(\displaystyle carA = 7 \)?
Perche' "si deve determinare la dimensione di $B$ e $C$ in funzione della caratteristica di $A$".
E quindi va considerato OGNI caratteristica $p$. Per quasi ogni caratteristica e quasi ogni
valore dei parametri $\alpha$ e $\beta$ la dimensione di $B$ e' $3$ mentre la dimensione di $C$ e' $2$.
Solo per le caratteristiche $p=2$ e $p=7$ ci sono delle eccezioni.
E quindi va considerato OGNI caratteristica $p$. Per quasi ogni caratteristica e quasi ogni
valore dei parametri $\alpha$ e $\beta$ la dimensione di $B$ e' $3$ mentre la dimensione di $C$ e' $2$.
Solo per le caratteristiche $p=2$ e $p=7$ ci sono delle eccezioni.
"Stickelberger":
Solo per le caratteristiche $p=2$ e $p=7$ ci sono delle eccezioni.
scusami, è una domanda, come fai ad individuare che solo per \(\displaystyle p = 2 \) e \(\displaystyle p = 7 \) vale l'eccezione?
Per esempio: se $\dim C<2$, allora i due vettori $((5),(4),(1),(0))$ e $((2),(0),(6),(\beta))$ sono dipendenti.
Ma se succede questo, anche i vettori $((5),(4))$ e $((2),(0))$ (le prime due coordinate)
sono dipendenti e quindi $\det((5,2),(4,0))=-8$ deve essere zero in $A$.
Questo significa che la caratteristica di $A$ deve essere $2$.
Per $B$ e’ simile. Se $\dim B<3$ il determinante $\det((3,2,6),(2,0,5),(1,2,8))=-28$ deve essere zero in $A$
e quindi le uniche caratteristiche “critiche” in questo caso sono $p=2$ e $p=7$
Ma se succede questo, anche i vettori $((5),(4))$ e $((2),(0))$ (le prime due coordinate)
sono dipendenti e quindi $\det((5,2),(4,0))=-8$ deve essere zero in $A$.
Questo significa che la caratteristica di $A$ deve essere $2$.
Per $B$ e’ simile. Se $\dim B<3$ il determinante $\det((3,2,6),(2,0,5),(1,2,8))=-28$ deve essere zero in $A$
e quindi le uniche caratteristiche “critiche” in questo caso sono $p=2$ e $p=7$
chiarissimo! grazie mille!
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