Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, amici! Leggo sugli Elementi di teoria delle funzioni e di analisi funzionale (p. 271 dell'ed. Editori Riuniti, cfr. per es. qui) quanto segue"Kolmogorov e Fomin":osserviamo che \(m'(A\triangle B)\) [dove \(m'\) è l'estensione della misura $m$ definita sul semianello $\mathfrak{S}_m$ all'anello minimale \(\mathfrak{R}(\mathfrak{S}_m)\)] si può supporre quale distanza [credo che già a questo punto bisogna tener conto dell'affermazione tra parentesi ...
Buonasera a tutti,
per quanto abbia navigato alla ricerca della soluzione al problema, non ho trovato nulla su come calcolare la distanza tra due ellissi, di cui uno con origine nel punto (0,0) e senza rotazione.
Sapendo che:
- il punto P1 tangente sulla prima ellisse ha coordinate P1=(x1, y1);
- il punto P2 tangente sulla seconda ellisse ha coordinate P2=(x2, y2);
- la prima ellisse ha centro nelle coordinate C=(0, 0) ,angolo di rotazione pari a zero e semiassi pari ad a1 e b1;
- la seconda ...
Ciao.
Ho deciso di approfondire per conto mio alcuni concetti base dell'algebra lineare ,trattati solo in modo base nel mio corso universitario.
La definizione che mi è stata data di prodotto scalare è : $ x* y=(x1y1+x2y2+...+xnyn) $
ora leggendo su un libro piu approfondito sento parlare di un prodotto scalare standard e di uno non standard,
Ora vorrei capire qual è la differenza tra i due in termini di formula generale.
Ad esempio oltre alla sopra definizione di prodotto scalare ne trovo un altra ...
Salve a tutti, ho un dubbio riguardo ai coseni direttori, pur avendo capito che sono gli angoli generati tra il vettore e gli assi cartesiani, non capisco come mai venga riportata la seguente formula:
"Osservazione: essendo il modulo di un versore unitario, si ha cos2a + cos2b + cos2c = 1"
Qualcuno può gentilmente spiegarmela?
Ringrazio anticipatamente per le risposte
Buongiorno a tutti
avrei bisogno di chiedervi un consiglio su come procedere con questo esercizio
dato
$w_1 = { X \in \mathbb{R}^(2,2) | tr(X)=0} $
purtroppo pare che il tool "aggiungi formula" oggi faccia i capricci quindi non riesco ad inserire correttamente le matrici.
Vi i indico $w_2$ descrivendola; è lo span di tre matrici che vi scrivo per righe
la prima è (1 0 ; -1 1), la seconda (2 1; 0 -1) e la terza (-4 -3; -2 5)
spero di essermi spiegato
l'esercizio mi chiede di trovare la dimensione e una ...
Ciao a tutti,
sto cercando di capire se esistono degli spazi vettoriali di dimensione finita in cui non sia possibile parlare di base canonica.
Alcuni esempi di spazi in cui ciò è possibile sono \( \mathbb{R}^n \), \( \mathcal{M}_{m,n}(\mathbb{K}) \) (matrici \( m \times n \) su un campo \( \mathbb{K} \)) e \( \mathbb{K}[X]_{n} \) (polinomi di grado \( \le n \) a coefficienti in un campo \( \mathbb{K} \)).
Guardando questi esempi mi è venuto il dubbio: è vero o no che ogni spazio vettoriale ...
Salve ragazzi,
mi vergogno anche a postare questo esercizio, ma sinceramente non sto capendo assolutamente come lo posso svolgere. Il testo del problema mi dice:
Determinare la matrice $A:=(a_(ij))$ di tipo (2,2) tale che $a_(ij)=i+j$
Potete per favore spiegarmi questo esercizio semplicissimo? Grazie
Data una matrice hermitiana $A$ la somma dei suoi autovalori coincide con la traccia.
Ho provato a dimostrare questo fatto, ad esempio passando per una decomposizione spettrale di A, ma non sono riuscito a concludere.
Qualcuno ne ha in mente una dimostrazione?
Devo iniziare chimica fisica 2 il cui argomento ruota attorno alla meccanica quantistica.
Abbiamo fatto la teoria dei gruppi e iniziato l'eq di schrodinger ma nella trattazione di questi argomenti sono apparsi piu e piu e piu volte i concetti di spazio vettoriale e operatore lineare(ad esempio l'operatore hamiltoniano)
Ora purtroppo non ho fatto questi concetti gran che bene e sono un po' in difficoltà.
Volevo sapere se qualcuno disponibile potesse dirmi in modo semplice cosa si intende per ...
ciao a tutti!
Mi scuso per il disturbo, ma vi volevo chiedere questo esempio che ha fatto la prof per spiegarci che la composizione non è commutativa, ma non ho capito tanto bene il procedimento che ha fatto.
Allora data $ X = {a;b;c} $
Si ha una applicazione $ f : X \to X $ dove $ a \to a$ , $ b \to c$ e $c \to b$
Poi si ha un'altra applicazione $ g : X \to X $ dove $a \to a$ , $ b \to a$ e $c \to c$
Dobbiamo verificare che F composto con ...
Ciao, vi espongo il mio problema.
Sto realizzando un software, che dopo le dovute analisi si è giunti a un punto dove va trovata la soluzione a un sistema di tre equazioni di secondo grado in due incognite. Dato che il calcolo della soluzione al sistema va fatto parecchie volte, è impensabile scrivere del codice che lo calcola direttamente. L'unico sistema computazionalmente vantaggioso, mi viene da dire che è quello di trovare una soluzione utilizzando il sistema matriciale.
Nel mio caso non ...
Ciao ragazzi, ho qualche problema col seguente esercizio:
f: R^3 ---> R^3
Con l' applicazione:
f(x,y,z) = (x+y-z-1 , y+z+1 , x-2z)
ed una retta: r = (-2+t , -2-y , 1+t)
l' esercizio chiede di trovare l' antimmagine della retta:
f^-1(r) = {(x,y,z) appartenente a R^3 : f(x,y,z) appartenente a r}
Ora, il procedimento che utilizzerei e' il seguente:
1) Metto a sistema l' applicazione eugagliandola con la retta, cioè:
\begin{cases}x+y-z-1=-2+t\\y+z+1=-2-t\\x-2z=1+t\end{cases}
2) Per ...
Salve a tutti, proprio ieri ho avuto un'interessante discussione con il mio professore di Analisi (però ho deciso di fare il post qui dato che riguarda gli insiemi su $RR^N$). Ci stava mostrando l'insieme di Vitalicome esempio di insieme non misurabile secondo Lebesgue, mi è sorto il dubbio circa la sua cardinalità.
Non può essere numerabile perchè qualsiasi insieme numerabile di punti su $RR^N$ ha misura nulla(di questo ho la dimostrazione) e penso che non possa avere ...
Salve,
Come posso parametrizzare una superficie con equazione cartesiana (x^2)+(y^2)-2x(cosz)-2y(senz)=0?
Ciao, amici! Se lo spazio $X_1\times...\times X_n$ è munito della topologia prodotto mi sembra immediato che valgano i seguenti fatti:
-se ogni $X_i$ soddisfa il primo assioma di numerabilità, lo soddisfa anche $X_1\times...\times X_n$;
-una successione \(\{x_n\}_n=\{(x_{1,n},...,x_{n,n})\}_n\subset X_1\times...\times X_n\) converge a \(x=(x_1,...,x_n)\in X_1\times...\times X_n\) se e solo se ogni successione \(\{x_{i,n}\}_n\) converge a $x_i\in X_i$.
Mi scuso per la banalità, ma better safe ...
Ho provato a chiedere la stessa cosa nella sezione di Fisica, ma in effetti è più adatta la sezione di Geometria essendo questo un problema squisitamente di Algebra Lineare.
Problema:
Siano date $A=( ( a , 0 ),( 0 , -a ) )$ e $B=( ( 0 , b ),( b , 0 ) )$, trovare gli autovalori di $M=A+B$ in funzione degli autovalori di $A$ e $B$, ovvero senza diagonalizzare direttamente $M$.
Soluzione (incompleta):
Posso scrivere $A=aI$ (dove $I$ è la ...
Buona sera a tutti. In questo periodo sono alle prese con il corso di superfici algebriche e mi sono reso conto che avrei bisogno di un buon libro di geometria algebrica. Purtroppo ho visto che ce ne sono molti per cui vorrei un consiglio su quale scegliere per iniziare. Più che altro avrei bisogno di un libro che riporta i fatti basilari di geometria algebrica.
a lezione il prof ha fatto esempi per il teorema fondamentale dell'algebra, ma c'è un passaggio che non mi torna
ha dato l'equazione $ x^2+x+1=0 $ e abbiamo trovato le soluzioni $ x_(1,2)=-1/2 +- isqrt(3/2) $
fino a qui tutto ok
poi ha scritto
$ x_(1,2)=-1/2 +- isqrt(3/2) $ = $ cos(+-2/3pi)+isin(+-2/3pi)=e^(+-i2/3pi) $
il $ +-2/3 $ da dove scappa fuori??
Def:
Una superficie regolare $S$ è orientabile se può essere ricoperta da una famiglia $mathcal A$ di intorni coordinati tali che se $p in S$,$p$ appartiene a due intorni coordinati di $mathcal A$ allora la matrice Jacobiana del cambio di parametri è positiva in $p$.
Poi viene introdotto $N$, il versore normale, e la proposizione : una superficie regolare è orientabile se e solo se esiste un campo di versori normali ...
Salve a tutti, trovo difficoltà nello svolgere un esercizio...
Esso chiede di trovare le curve $alpha = X(u(t),v(t))$ tali che $S(alpha')=k_1 alpha'$ ,$S(alpha')=k_2 alpha'$ e $(S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0$, in cui $S$ è l'operatore di forma, $k_1$ e $k_2$ sono le curvature principali.
Ora io so che la terza condizione $(S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0$ implica che la curvatura in due dimensioni $k2[alpha]=0$.
Poiché gli autovalori dell'operatore di forma $S$ sono ...
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