Curvatura di Gauss e laplaciano

[Spremiagrumi1]

Avendo la metrica di una superficie definita come $ds^2=lambda(u,v)*(du^2+dv^2)$ come trovo la curvatura di Gauss?
Io ho provato a trovare le forme fondamentali per poter trovare la curvatura come $K=(eg-f^2)/(EG-F^2)$ in cui e,f,g è la seconda forma fondamentale mentre E,F,G è la prima.
Per quanto riguarda la prima, a partire dalla definizione di metrica $ds^2=Edu^2+2Fdu*dv+Gdv^2)$ ho supposto che $E=G=lambda(u,v)$ e $F=0$ però non riesco a trovare la seconda forma.
Ho provato a derivare il prodotto scalare $X_u*X_u$ poiché definisco E come $E=|X_u|^2$ dove X_u è la derivata della superficie X(u,v) rispetto a u, ma non ho ottenuto molto.
Ho provato anche a utilizzare la matrice Hessiana definita con componenti $X_(uu), X_(vv), X_(uv)$ ma non ho ottenuto nulla.
Inoltre dovrei esprimere la curvatura di Gauss in funzione del Laplaciano, ma non so da dove iniziare, sarà che non riesco a trovare la curvatura di Gauss

Grazie, so che sto facendo molte domande, ma ho l'esame di geometria differenziale fra poco

[ciampax]

Mai sentito parlare di equazioni di Gauss e Weingarten?

[Spremiagrumi1]

So che le equazioni di Weingarten mi consentono di trovare l'operatore di forma... ma ho bisogno dei vari e,f,g

[ciampax]

In realtà, facendo un po' di conti, si trova che $eg-f^2$ si ottiene come combinazione delle derivate prime e seconde di $E,F,G$. Non sono proprio sicuro, ma mi pare si chiami formula di Brioschi.

[Spremiagrumi1]

Si hai ragione, servono proprio le formule di Brioschi. Non le conoscevo, mi pare che il docente non le abbia nemmeno nominate a lezione, ma potrei sbagliarmi. Comunque le ho trovate nel mio libro. Grazie ancora per tutto

[Alexp1]

"ciampax":In realtà, facendo un po' di conti, si trova che $eg-f^2$ si ottiene come combinazione delle derivate prime e seconde di $E,F,G$.

E già, e' proprio ciò che sostiene il Theorema Egregium

[ciampax]

Infatti era quello che "citavo"... ma non volevo mettergli in testa altre parole...