Theorema Egregium (Gauss)
Enunciato : la curvatura Gaussiana $K$ è invariante per isometrie locali.
Vediamo se ho capito questo teorema.
La dimostrazione consiste nell'arrivare ad esprimere la curvatura Gaussiana in termini della prima forma fondamentale, usando i simboli di Christoffel, e l'asserto segue dal fatto che la prima forma è invariante per isometrie locali.
Quindi abbiamo che sei due superfici hanno curvature distinte non sono isometriche.
In generale due superfici che hanno la stessa curvatura non sono isometriche.
Data una parametrizzazione $varphi : U sub RR^2 rightarrow S$ di una superficie $S$ regolare, orientabile ed orientata con $N$,
i simboli di Christoffel non sono altro che dei coefficienti che uso per ottenere vettori come $varphi_uu,varphi_uv,varphi_vv,Nu,Nv$ nella base ${varphi_u,varphi_v,N}$, giusto?
Vediamo se ho capito questo teorema.
La dimostrazione consiste nell'arrivare ad esprimere la curvatura Gaussiana in termini della prima forma fondamentale, usando i simboli di Christoffel, e l'asserto segue dal fatto che la prima forma è invariante per isometrie locali.
Quindi abbiamo che sei due superfici hanno curvature distinte non sono isometriche.
In generale due superfici che hanno la stessa curvatura non sono isometriche.
Data una parametrizzazione $varphi : U sub RR^2 rightarrow S$ di una superficie $S$ regolare, orientabile ed orientata con $N$,
i simboli di Christoffel non sono altro che dei coefficienti che uso per ottenere vettori come $varphi_uu,varphi_uv,varphi_vv,Nu,Nv$ nella base ${varphi_u,varphi_v,N}$, giusto?
Risposte
Per quanto riguarda il teorema egregium direi di si. I simboli di Christoffel sono animali orribili che stanno lì per esprimere i coefficienti della seconda forma fondamentale e le loro derivate in funzione dei coefficienti della prima forma fondamentale e le loro derivate.
Più avanti potrai studiare che i simboli di Christoffel (e loro generalizzazioni) hanno un significato intrinseco come coefficienti di un certo tensore di curvatura (una generalizzazione dell'operatore di Weingarten sulle superfici) su una varietà (più o meno) qualsiasi. Per questo tuttavia serve il linguaggio più generale dei fibrati vettoriali e delle derivate covarianti.
Più avanti potrai studiare che i simboli di Christoffel (e loro generalizzazioni) hanno un significato intrinseco come coefficienti di un certo tensore di curvatura (una generalizzazione dell'operatore di Weingarten sulle superfici) su una varietà (più o meno) qualsiasi. Per questo tuttavia serve il linguaggio più generale dei fibrati vettoriali e delle derivate covarianti.
"Pappappero":
Per quanto riguarda il teorema egregium direi di si. I simboli di Christoffel sono animali orribili che stanno lì per esprimere i coefficienti della seconda forma fondamentale e le loro derivate in funzione dei coefficienti della prima forma fondamentale e le loro derivate.
Più avanti potrai studiare che i simboli di Christoffel (e loro generalizzazioni) hanno un significato intrinseco come coefficienti di un certo tensore di curvatura (una generalizzazione dell'operatore di Weingarten sulle superfici) su una varietà (più o meno) qualsiasi. Per questo tuttavia serve il linguaggio più generale dei fibrati vettoriali e delle derivate covarianti.
Spero di incontrarli mai allora ahahah xD
Quindi in linea di massima ho centrato il senso del teorema?
Il Teorema Egregium, se uno non guardasse la dimostrazione, dice semplicemente che la prima forma fondamentale determina la curvatura di Gauss.
La cosa importante è che la prima forma fondamentale (e quindi la curvatura di Gauss) non dipende dalla definizione del versore normale e quindi, più in generale, non dipende da come la superficie è sistemata nello spazio ambiente.
Quello che si dimostra in seguito è che esistono delle "funzioni" (non proprio, ma parlare di coomologia mi pare eccessivo) sulle varietà che sono intrinseche, non dipendono cioè dall'embedding (ovvero da come vediamo la varietà in un qualche spazio ambiente enorme). Nel caso delle superfici uno di questi invarianti è la curvatura di Gauss.
La cosa importante è che la prima forma fondamentale (e quindi la curvatura di Gauss) non dipende dalla definizione del versore normale e quindi, più in generale, non dipende da come la superficie è sistemata nello spazio ambiente.
Quello che si dimostra in seguito è che esistono delle "funzioni" (non proprio, ma parlare di coomologia mi pare eccessivo) sulle varietà che sono intrinseche, non dipendono cioè dall'embedding (ovvero da come vediamo la varietà in un qualche spazio ambiente enorme). Nel caso delle superfici uno di questi invarianti è la curvatura di Gauss.
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