Anelli
Ciao a tutti,
qualche giorno fa ho sostenuto l'esame di matematica del discreto e ora mi sto preparando in vista dell'orale (che se ci sarà, sarà a giorni
). Sto pertanto dedicandomi alla correzione del compito. Ma un esercizio, che non ho fatto durante l'esame, mi lascia perplesso e con tantissimi dubbi... Mi potreste dare una mano? Ve lo chiedo gentilmente in quanto non ho nessuno in famiglia o amici bravi in questo ambito.
L'esercizio (che con molta probabilità mi sarà chiesto in sede d'orale) tratta degli anelli:
"Sia X l'insieme delle matrici reali della forma $((a,b),(b,a))$.
a) Verificare che X è un sottoanello di $M_2$(R).
b) Stabilire se l'anello X è commutativo e se contiene elementi (diversi dalla matrice nulla) non invertibili.
c) Mostrare che contiene divisori dello zero. "
Io sono completamento perso...so un po' la teoria...ma esercizi fatti a lezione zero!! Se qualcuno mi potesse aiutare fornendomi passaggi algebrici, spiegazioni del perché e tanto altro mi farebbe piacere...potrei essergli debitore!! XD
A parte gli scherzi spero in un aiutino.
Grazie!!
qualche giorno fa ho sostenuto l'esame di matematica del discreto e ora mi sto preparando in vista dell'orale (che se ci sarà, sarà a giorni
). Sto pertanto dedicandomi alla correzione del compito. Ma un esercizio, che non ho fatto durante l'esame, mi lascia perplesso e con tantissimi dubbi... Mi potreste dare una mano? Ve lo chiedo gentilmente in quanto non ho nessuno in famiglia o amici bravi in questo ambito. L'esercizio (che con molta probabilità mi sarà chiesto in sede d'orale) tratta degli anelli:
"Sia X l'insieme delle matrici reali della forma $((a,b),(b,a))$.
a) Verificare che X è un sottoanello di $M_2$(R).
b) Stabilire se l'anello X è commutativo e se contiene elementi (diversi dalla matrice nulla) non invertibili.
c) Mostrare che contiene divisori dello zero. "
Io sono completamento perso...so un po' la teoria...ma esercizi fatti a lezione zero!! Se qualcuno mi potesse aiutare fornendomi passaggi algebrici, spiegazioni del perché e tanto altro mi farebbe piacere...potrei essergli debitore!! XD
A parte gli scherzi spero in un aiutino.
Grazie!!
Risposte
confondere Algebra con Geometria non è un inizio promettente
per il punto 1) ,una volta dimostrata la stabilità dell'insieme rispetto all'addizione e alla moltiplicazione(facile)devi dimostrare che l'insieme $X$ verifica le proprietà di un anello
ad esempio,non mi sembra cosi difficile osservare che la matrice nulla appartiene all'insieme,che l'operazione di somma è commutativa e che per ogni matrice di $X$ la sua simmetrica appartiene ad $X$
analogamente ragioni per il resto
per il punto 2) mi sembra semplicissimo dimostrare che $M_1cdotM_2=M_2cdotM_1$
inoltre è chiaro che ad esempio ogni elemento di $X$ che abbia $a=b$ ha determinante nullo e quindi non è invertibile
punto 3)
prova ad esempio a calcolare
$ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) )( ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ) $
per il punto 1) ,una volta dimostrata la stabilità dell'insieme rispetto all'addizione e alla moltiplicazione(facile)devi dimostrare che l'insieme $X$ verifica le proprietà di un anello
ad esempio,non mi sembra cosi difficile osservare che la matrice nulla appartiene all'insieme,che l'operazione di somma è commutativa e che per ogni matrice di $X$ la sua simmetrica appartiene ad $X$
analogamente ragioni per il resto
per il punto 2) mi sembra semplicissimo dimostrare che $M_1cdotM_2=M_2cdotM_1$
inoltre è chiaro che ad esempio ogni elemento di $X$ che abbia $a=b$ ha determinante nullo e quindi non è invertibile
punto 3)
prova ad esempio a calcolare
$ ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) )( ( 1 , -1 ),( -1 , 1 ) ) $
Ti suggerisco cosa fare:
a) per dimostrare che è un sottoanello, devi verificare che $0, 1$ (gli elementi neutri di addizione e moltiplicazione per $M_2(RR)$) sono in $X$, e che per ogni coppia di matrici $A, B\in X$ si ha $-A\in X,\ A+B\in X,\ A\cdot B\in X$;
b) Per vedere se è commutativo, fai il prodotto di due matrici qualsiasi $A,B$ e verifica che $AB=BA$. Per gli elementi non invertibili, ti ricordo che una matrice ammette inversa se il suo determinante è diverso da zero;
c) Come prima, fai il prodotto tra due matrici qualsiasi e ponilo uguale alla matrice nulla. Determina allora come sono fatte le matrici che, moltiplicate tra loro, danno tale matrice.
a) per dimostrare che è un sottoanello, devi verificare che $0, 1$ (gli elementi neutri di addizione e moltiplicazione per $M_2(RR)$) sono in $X$, e che per ogni coppia di matrici $A, B\in X$ si ha $-A\in X,\ A+B\in X,\ A\cdot B\in X$;
b) Per vedere se è commutativo, fai il prodotto di due matrici qualsiasi $A,B$ e verifica che $AB=BA$. Per gli elementi non invertibili, ti ricordo che una matrice ammette inversa se il suo determinante è diverso da zero;
c) Come prima, fai il prodotto tra due matrici qualsiasi e ponilo uguale alla matrice nulla. Determina allora come sono fatte le matrici che, moltiplicate tra loro, danno tale matrice.
a dire il vero,bisogna dimostrare che
1)$(X,+)$ è un gruppo abeliano
2)$(X,cdot)$ è un semigruppo
3)$cdot$ è distributiva rispetto a $+$
1)$(X,+)$ è un gruppo abeliano
2)$(X,cdot)$ è un semigruppo
3)$cdot$ è distributiva rispetto a $+$
"stormy":
a dire il vero,bisogna dimostrare che
1)$(X,+)$ è un gruppo abeliano
2)$(X,cdot)$ è un semigruppo
3)$cdot$ è distributiva rispetto a $+$
M'ero dimenticato $-A\in X$, in questo modo bastano queste per dimostrare che è un sottoanello (fai la prova).
EDIT: e anzi, a dirla tutta, basta far vedere che ogni combinazione lineare di due elementi di $X$ sta in $X$ (e la distributività $X$la eredita come sottoinsieme di $M_2(RR)$).
Ciao ragazzi,
mi scuso innanzitutto per aver messo la discussione nello spazio sbagliato, non mi ero accorto ci fosse la sezione dedicata
Mi sono messo al lavoro dopo quanto scritto da voi e ho prodotto un bel po' (speriamo sia giusto)
Postarvi tutto, penso sia molto difficile, pertanto ho fatto dello foto che posterò e commenterò per farvi capire.
Nella prima e nella seconda foto ho verificato le proprietà (quelle di stormy) di un anello.
Nella terza foto tratto invece del punto B...penso sia giusto!! XD
Veniamo ora all'ultima parte...ma i divisori di zero? Ho fatto il prodotto fra le due matrici e posto il tutto uguale alla matrice nulla...ma poi? Che dovrei fare/dire? XD Forse non mi è chiarissimo questo punto...
mi scuso innanzitutto per aver messo la discussione nello spazio sbagliato, non mi ero accorto ci fosse la sezione dedicata
Mi sono messo al lavoro dopo quanto scritto da voi e ho prodotto un bel po' (speriamo sia giusto)
Postarvi tutto, penso sia molto difficile, pertanto ho fatto dello foto che posterò e commenterò per farvi capire. Nella prima e nella seconda foto ho verificato le proprietà (quelle di stormy) di un anello.
Nella terza foto tratto invece del punto B...penso sia giusto!! XD
Veniamo ora all'ultima parte...ma i divisori di zero? Ho fatto il prodotto fra le due matrici e posto il tutto uguale alla matrice nulla...ma poi? Che dovrei fare/dire? XD Forse non mi è chiarissimo questo punto...
i divisori dello zero sono elementi $M_1$ ed $M_2$,diversi dalla matrice nulla,che moltiplicati tra loro danno la matrice nulla
quindi ne abbiamo trovati
per la distributività devi dimostrare $A cdot (B+C)=A cdotB+A cdotC$
e analogamente $(B+C)cdotA=BcdotA+CcdotA$
poi,quando dimostri il secondo punto,fallo in generale $AcdotB=BcdotA$,non prendendo 2 matrici particolari
quindi ne abbiamo trovati
per la distributività devi dimostrare $A cdot (B+C)=A cdotB+A cdotC$
e analogamente $(B+C)cdotA=BcdotA+CcdotA$
poi,quando dimostri il secondo punto,fallo in generale $AcdotB=BcdotA$,non prendendo 2 matrici particolari
Grazie mille per i chiarimenti, gentilissimo!
Ho già corretto tutto in base a quanto comunicato
Ho già corretto tutto in base a quanto comunicato
Scusa l'intrusione. Relativamente al prodotto nullo di due matrici, il prof. può accettare l'esempio numerico. A me e ad altri, però, ha chiesto di mostrarlo con lettere, in generale. Ed è facile che ci scappi la domanda sull'ortogonalità e il prodotto scalare. Perché penso abbiate trattato questi argomenti. L'ortogonalità dei vettori e il prodotto scalare sono argomenti che potresti ripassare e collegare alla nullità del prodotto di matrici. Se il prof. verifica che sei flessibile e in grado di collegare gli argomenti, il voto dell'orale si alza.
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