Operatore di forma e curvatura
Salve a tutti, trovo difficoltà nello svolgere un esercizio...
Esso chiede di trovare le curve $alpha = X(u(t),v(t))$ tali che $S(alpha')=k_1 alpha'$ ,$S(alpha')=k_2 alpha'$ e $(S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0$, in cui $S$ è l'operatore di forma, $k_1$ e $k_2$ sono le curvature principali.
Ora io so che la terza condizione $(S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0$ implica che la curvatura in due dimensioni $k2[alpha]=0$.
Poiché gli autovalori dell'operatore di forma $S$ sono $k_1$ e $k_2$, applicando la matrice diagonale di $S$ a $alpha'$ trovo che le componenti $u(t)'$ e $v(t)'$ sono gli autovettori di S.
Ho fatto vari tentavi usando la definizione di $k2[alpha]=(alpha''*J(alpha'))/|alpha'|^3=0$ che dovrebbe implicare che la rotazione in senso antiorario di $pi/2$ di $alpha'$ sia perpendicolare ad $alpha''$. Dalla condizione $S(alpha')*(alpha')/|alpha'|^2=0$ invece dovrei trovare che $S(alpha')$ è perpendicolare a $alpha'$ e dunque si potrebbe considerare come una $J(alpha')$ ma non riesco a ottenere nulla se non che $alpha' = 0$ e $alpha = $costante che mi pare sbagliato...
Potreste darmi una mano?
Grazie
Esso chiede di trovare le curve $alpha = X(u(t),v(t))$ tali che $S(alpha')=k_1 alpha'$ ,$S(alpha')=k_2 alpha'$ e $(S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0$, in cui $S$ è l'operatore di forma, $k_1$ e $k_2$ sono le curvature principali.
Ora io so che la terza condizione $(S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0$ implica che la curvatura in due dimensioni $k2[alpha]=0$.
Poiché gli autovalori dell'operatore di forma $S$ sono $k_1$ e $k_2$, applicando la matrice diagonale di $S$ a $alpha'$ trovo che le componenti $u(t)'$ e $v(t)'$ sono gli autovettori di S.
Ho fatto vari tentavi usando la definizione di $k2[alpha]=(alpha''*J(alpha'))/|alpha'|^3=0$ che dovrebbe implicare che la rotazione in senso antiorario di $pi/2$ di $alpha'$ sia perpendicolare ad $alpha''$. Dalla condizione $S(alpha')*(alpha')/|alpha'|^2=0$ invece dovrei trovare che $S(alpha')$ è perpendicolare a $alpha'$ e dunque si potrebbe considerare come una $J(alpha')$ ma non riesco a ottenere nulla se non che $alpha' = 0$ e $alpha = $costante che mi pare sbagliato...
Potreste darmi una mano?
Grazie
Risposte
Ciao,
ad occhio, considerando la terza condizione, risulta che sia $k_1$ che $k_2$ siano entrambe nulle.... Sempre ad occhio, non ho fatto calcoli, dovrebbe risultare nulla anche la binormale (verifica la formula per calcolare la curvatura di una curva espressa con una parametrizzazione qualsiasi, NON secondo ascissa curvilinea, con la formula per calcolare la binormale, sempre di una curva espressa con parametrizzazione qualsiasi) quindi le curve in esame dovrebbero essere rette...però verifica perché non ho carta e penna con me in questo momento...
sorry
ad occhio, considerando la terza condizione, risulta che sia $k_1$ che $k_2$ siano entrambe nulle.... Sempre ad occhio, non ho fatto calcoli, dovrebbe risultare nulla anche la binormale (verifica la formula per calcolare la curvatura di una curva espressa con una parametrizzazione qualsiasi, NON secondo ascissa curvilinea, con la formula per calcolare la binormale, sempre di una curva espressa con parametrizzazione qualsiasi) quindi le curve in esame dovrebbero essere rette...però verifica perché non ho carta e penna con me in questo momento...
sorry
Grazie mille per la risposta! Le curvature principali $k_1$ e $ k_2$ nulle le hai trovate semplicemente sostituendo le prime due condizioni alla terza giusto? Quando ho scritto il quesito non me n'ero accorto -.-
La binormale è nulla se il prodotto vettoriale tra $alpha'$ e $alpha''$ è nullo ma la terza condizione implica che la curvatura calcolata in t=0 è nulla (c'è un errore nel messaggio scritto in precedenza, non è $k2[α]=0$ ma è $k2[α](0)=0$) e dunque al massimo è nullo il modulo del prodotto vettoriale tra $alpha'$ e $alpha''$ calcolato in t=0 ma ciò non implica che il prodotto vettoriale sia nullo...O sbaglio? Mi manca qualche passaggio lo so...
La binormale è nulla se il prodotto vettoriale tra $alpha'$ e $alpha''$ è nullo ma la terza condizione implica che la curvatura calcolata in t=0 è nulla (c'è un errore nel messaggio scritto in precedenza, non è $k2[α]=0$ ma è $k2[α](0)=0$) e dunque al massimo è nullo il modulo del prodotto vettoriale tra $alpha'$ e $alpha''$ calcolato in t=0 ma ciò non implica che il prodotto vettoriale sia nullo...O sbaglio? Mi manca qualche passaggio lo so...
"pausacaffé":
Grazie mille per la risposta! Le curvature principali $k_1$ e $ k_2$ nulle le hai trovate semplicemente sostituendo le prime due condizioni alla terza giusto?
Esatto!!
Ok, allora adesso imposta il sistema di equazioni differenziali per recuperare le linee di curvatura...hai le curvature principali, hai le direzioni principali di curvatura, quindi dovresti riuscirci.
Le curve da cercare dovrebbero essere proprio le linee di curvatura, ossia curve che hanno come tangente le direzione principali di curvatura!
Ok...vediamo, dimmi se sbaglio...poiché le curvature principali sono nulle ci troviamo nel piano...la metrica del piano può essere espressa come $ds^2 = du^2 + dv^2$ ciò implica che $E=G=1$ e $F=0$, se si considera la metrica generale di una superficie $ds^2 = Edu^2 + 2Fdudv + Gdv^2$ in cui E,G,F rappresenta la prima forma fondamentale.
Ciò implica che i simboli di Christofell siano nulli e dunque applicando le equazioni differenziali ottengo $u''=0$ e $v''=0$ e dunque u e v sono rette e le curve $α=X(u(t),v(t))$ sono rette.
Però così non ho fatto altro che trovare le geodetiche del piano, non so se sia corretto...
Ho anche un altro dubbio...le direzioni principali sono gli autovettori della matrice dell'operatore di forma e dunque nel mio caso $alpha'$ e $alpha''$, però, poiché le curvature principali coincidono, le direzioni principali non possono essere qualsiasi?
Ciò implica che i simboli di Christofell siano nulli e dunque applicando le equazioni differenziali ottengo $u''=0$ e $v''=0$ e dunque u e v sono rette e le curve $α=X(u(t),v(t))$ sono rette.
Però così non ho fatto altro che trovare le geodetiche del piano, non so se sia corretto...
Ho anche un altro dubbio...le direzioni principali sono gli autovettori della matrice dell'operatore di forma e dunque nel mio caso $alpha'$ e $alpha''$, però, poiché le curvature principali coincidono, le direzioni principali non possono essere qualsiasi?
Tieni presente che essendo un punto planare, le curve cercate dovrebbero proprio essere tutte quelle curve che nell'intorno del punto siano approssimabili a delle rette.
...da quello che hai scritto tu nel primo post, $\alpha"$ non è autovettore.
...e si!
"pausacaffé":
...le direzioni principali sono gli autovettori della matrice dell'operatore di forma e dunque nel mio caso $ alpha' $ e $ alpha'' $
...da quello che hai scritto tu nel primo post, $\alpha"$ non è autovettore.
"pausacaffé":
poiché le curvature principali coincidono, le direzioni principali non possono essere qualsiasi?
...e si!
Si scusa...non volevo mettere $alpha$ come autovettori ahah intendevo $u'$ e $v'$, ho scritto veloce e mi sono confuso 
Quindi la soluzione sono tutte le rette nell'intorno del punto planare generico in qualsiasi direzione essendo le curvature principali coincidenti. E il modo con cui ho ricavato le rette dovrebbe essere corretto.
Ti ringrazio per l'aiuto, sei stato molto gentile
Quindi la soluzione sono tutte le rette nell'intorno del punto planare generico in qualsiasi direzione essendo le curvature principali coincidenti. E il modo con cui ho ricavato le rette dovrebbe essere corretto.
Ti ringrazio per l'aiuto, sei stato molto gentile
Si, tieni presente che il cercare di impostare le equazioni differenziali delle linee di curvatura era per verificare, in realtà', l'impossibilità' di farlo, perché essendo un punto planare le soluzione sarebbero tutte le famiglie di curve "piane", nel senso che appartengono, nell'intorno del punto, al piano Tg alla superficie e quindi che nei confronti della normale alla superficie siano approssimabili a rette...anche perché per quel che ne sappiamo, la superficie in esame potrebbe anche essere un piano.
Quindi in linea di massima si può considerare che la soluzione siano rette..
Non so se sono riuscito a spiegarmi, vediamo se qualcun altro vuole intervenire!
Quindi in linea di massima si può considerare che la soluzione siano rette..
Non so se sono riuscito a spiegarmi, vediamo se qualcun altro vuole intervenire!
"pausacaffé":Ma che c'entrano si simboli di Christoffel? La forme fondamentali di una superficie non sono collegate alle connessioni (lineari) su di essa!
...Ciò implica che i simboli di Christofell siano nulli...
Poi non capisco le prime due condizioni:
"pausacaffé":cioè \(\displaystyle S\) applicato ad \(\displaystyle\alpha^{\prime}\) non da lo stesso risultato?
...$ S(alpha')=k_1 alpha' $ ,$ S(alpha')=k_2 alpha' $...
mmm ok...io non ho mai visto come si ricavano le equazioni delle linee di curvatura, non credo di riuscirci in ogni caso...però sono le condizioni che mi da il testo a dirmi che le curve cercate sono principali poiché soddisfano sempre $S(alpha') x alpha' = 0$ inoltre le curvature sono nulle dunque capisco che possano essere principali tutte le curve piane...ma per il perché si possano approssimare a rette, se non per quanto ho scritto sulla metrica, ci devo riflettere ancora un po'...
mmm non mi sono molto chiari certi concetti...diciamo che io so che i simboli di Christofell posso esprimerli mediante la prima forma fondamentale e grazie a essi riesco a trovare le geodetiche di una superficie...ed è quello che ho fatto, ho calcolato la prima forma fondamentale dalla metrica del piano e poiché sono costanti e $F=0$ e nei simboli compaiono le derivate della prima forma fondamentale questi si annullano...però se è sbagliato non aspetto altro di essere corretto, mi sarebbe parecchio utile per schiarirmi le idee!
Credo che con $S(α')=k_1α'$ ,$S(α')=k_2α'$ si intenda proprio la definizione di curva principale $S(alpha') = k_i alpha'$
"j18eos":Ma che c'entrano si simboli di Christoffel? La forme fondamentali di una superficie non sono collegate alle connessioni (lineari) su di essa![/quote]
[quote="pausacaffé"]...Ciò implica che i simboli di Christofell siano nulli...
mmm non mi sono molto chiari certi concetti...diciamo che io so che i simboli di Christofell posso esprimerli mediante la prima forma fondamentale e grazie a essi riesco a trovare le geodetiche di una superficie...ed è quello che ho fatto, ho calcolato la prima forma fondamentale dalla metrica del piano e poiché sono costanti e $F=0$ e nei simboli compaiono le derivate della prima forma fondamentale questi si annullano...però se è sbagliato non aspetto altro di essere corretto, mi sarebbe parecchio utile per schiarirmi le idee!
"j18eos":cioè \( \displaystyle S \) applicato ad \( \displaystyle\alpha^{\prime} \) non da lo stesso risultato?[/quote]
Poi non capisco le prime due condizioni:[quote="pausacaffé"]...$ S(alpha')=k_1 alpha' $ ,$ S(alpha')=k_2 alpha' $...
Credo che con $S(α')=k_1α'$ ,$S(α')=k_2α'$ si intenda proprio la definizione di curva principale $S(alpha') = k_i alpha'$
"j18eos":
Ma che c'entrano si simboli di Christoffel? La forme fondamentali di una superficie non sono collegate alle connessioni (lineari) su di essa!
Hai solo contraddetto il teorema di Levi Civita, il più importante risultato di geometria riemanniana: la connessione di Levi Civita è univocamente individuata dalla prima forma fondamentale, e i simboli di Christoffel si scrivono in funzione delle derivate della metrica.
"pausacaffé":
Esso chiede di trovare le curve $ alpha = X(u(t),v(t)) $ tali che $ S(alpha')=k_1 alpha' $ ,$ S(alpha')=k_2 alpha' $ e $ (S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0 $, in cui $ S $ è l'operatore di forma, $ k_1 $ e $ k_2 $ sono le curvature principali.
Forse con $ S(alpha')=k_1 alpha' $ ,$ S(alpha')=k_2 alpha' $ intendi che vale o una o l'altra, entrambe sembrano contraddirsi effettivamente.
"pausacaffé":
Ora io so che la terza condizione $ (S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0 $ implica che la curvatura in due dimensioni $ k2[alpha]=0 $.
Non ho capito bene, cosa intendi con "curvatura in due dimensioni"? Sopra una superficie c'è la curvatura di Gauss e quella media...
"Luca.Lussardi":Stamattina mi sono svegliato ricordandomi di aver scritto una boiata, ora invece sono convinto che per emendarmi dovrò praticare il seppuku.
...Hai solo contraddetto il teorema di Levi Civita, il più importante risultato di geometria riemanniana: la connessione di Levi Civita è univocamente individuata dalla prima forma fondamentale, e i simboli di Christoffel si scrivono in funzione delle derivate della metrica...
"pausacaffé":[/quote]
Esso chiede di trovare le curve $ alpha = X(u(t),v(t)) $ tali che $ S(alpha')=k_1 alpha' $ ,$ S(alpha')=k_2 alpha' $ e $ (S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0 $, in cui $ S $ è l'operatore di forma, $ k_1 $ e $ k_2 $ sono le curvature principali.
[quote="Luca.Lussardi"]Forse con $ S(alpha')=k_1 alpha' $ ,$ S(alpha')=k_2 alpha' $ intendi che vale o una o l'altra, entrambe sembrano contraddirsi effettivamente.
No, l'operatore di forma $S$ è una matrice che espressa nella sua forma diagonale ha nella diagonale le due curvature principali e dunque applicata ad $alpha'$ mi da gli autovettori...in ogni caso io so che la definizione di curva principale è $S = k_i*alpha'$ dove i è l'indice delle curvature principali e come tale indica sia $k_1$ che $k_2$, quindi credo che l'esercizio intendesse questo, nel testo non specifica che valgono o una o l'altra mi da solo le tre condizioni e mi chiede di che curva si tratta.
"pausacaffé":[/quote][/quote]
Ora io so che la terza condizione $ (S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0 $ implica che la curvatura in due dimensioni $ k2[alpha]=0 $.
[quote="Luca.Lussardi"]Non ho capito bene, cosa intendi con "curvatura in due dimensioni"? Sopra una superficie c'è la curvatura di Gauss e quella media...
La curvatura in due dimensioni è la curvatura di una curva $alpha$ che in questo caso che sta sulla superficie, è definita per velocità arbitraria della curva come $k2[alpha] = |alpha'$ x $ alpha''|/|alpha'|^3$, e io so che la terza condizione $ (S(alpha')*(alpha)')/|alpha'|^2=0 $ implica che anche la curvatura calcolata in t=0 (attenzione come ho specificato all'altro utente che mi ha risposto, mi sono dimenticato di dire che la curvatura $k2[alpha]=0$ è calcolata in $t=0$, dunque è $k2[alpha](0)=0 )$ della curva sulla superficie sia nulla.
Partendo dalla terza condizione:
\[
\forall t,\,S(\alpha^{\prime})\cdot\frac{\alpha^{\prime}}{|\alpha^{\prime}|^2}=k_j\alpha^{\prime}\cdot\frac{\alpha^{\prime}}{|\alpha^{\prime}|^2}=0\Rightarrow k_j=0\,\,\text{dove}\,\,j\in\{1,2\}
\]
e così ottieni che le curvature principali sono costantemente nulle!
Ti trovi fin qui?
\[
\forall t,\,S(\alpha^{\prime})\cdot\frac{\alpha^{\prime}}{|\alpha^{\prime}|^2}=k_j\alpha^{\prime}\cdot\frac{\alpha^{\prime}}{|\alpha^{\prime}|^2}=0\Rightarrow k_j=0\,\,\text{dove}\,\,j\in\{1,2\}
\]
e così ottieni che le curvature principali sono costantemente nulle!
Ti trovi fin qui?
"j18eos":
Partendo dalla terza condizione:
\[
\forall t,\,S(\alpha^{\prime})\cdot\frac{\alpha^{\prime}}{|\alpha^{\prime}|^2}=k_j\alpha^{\prime}\cdot\frac{\alpha^{\prime}}{|\alpha^{\prime}|^2}=0\Rightarrow k_j=0\,\,\text{dove}\,\,j\in\{1,2\}
\]
e così ottieni che le curvature principali sono costantemente nulle!
Ti trovi fin qui?
Sisi fin qui ci sono
Non riesco andare oltre il fatto che le curvature media e scalare sono nulle...
Sulla torsione non riesco a vedere nulla... a causa di altri casini mie!
E te?
Sulla torsione non riesco a vedere nulla... a causa di altri casini mie!
E te?
..secondo me si potrebbe concludere cosi, come detto qualche post fa, con le curvature principali che coincidono (entrambe nulle), ci troviamo in un punto planare della superficie $X$, visto che con la curvatura nulla non si puo' andare a definire la torsione (risulterebbe anch'essa nulla ovunque, essendo il versore binormale nullo), si puo' dire che le soluzioni sono tutte le curve che risultano osculatrici al piano tangente nel punto preso in esame...
Non credo si possa andare oltre...
Non credo si possa andare oltre...
"j18eos":
Non riesco andare oltre il fatto che le curvature media e scalare sono nulle...
E te?
Anche io non riesco a trovare delle curve specifiche però magari l'esercizio era semplicemente questo come ha detto Alexp!
In ogni caso grazie a tutti delle risposte e dell'aiuto
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