[esercizio] - Trasformazioni Lineari
Dopo le trasformazioni affini, eccomi qui con un esercizio sulle trasformazioni lineari.
Ho la trasformazione lineare $ varphi :V_3(R)rarr V_3(R) $ rappresentata dalla seguente matrice
$ ( ( 2 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
e sia $S$ l'iperpiano $x_1-x_2+2x_3=1$
Sia $S_0$ la direzione di $S$
Come prima domanda mi chiede di trovare la dimensione di vari sottospazi
$dim(Im(varphi)nnS)=2$
$dim(Ker(varphi)nnS_0)=0$
$dim(varphi(S))=3$
$dim(varphi^-1(S))=2$
Poi mi chiede se $varphi^-1(S)=V_3(R)$ e se $varphi^-1(S)= O/ $. Avendo risposto ad ambedue NO, devo fornire una rappresentazione cartesiana di $varphi^-1(S)$ e la mia risposta è stata
$3x_1+2x_2+2x_3=1$
ottenuta andando a sostituire nell'equazione dell'iperpiano le righe della matrice moltiplicate per i coefficienti $x_i$ ossia
$x_1(iperp)-=2x_1+x_2+x_3$
$x_2(iperp)-=x_1-x_2+x_3$
$x_3(iperp)-=x_1+x_3$
Ho la trasformazione lineare $ varphi :V_3(R)rarr V_3(R) $ rappresentata dalla seguente matrice
$ ( ( 2 , 1 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 0 , 1 ) ) $
e sia $S$ l'iperpiano $x_1-x_2+2x_3=1$
Sia $S_0$ la direzione di $S$
Come prima domanda mi chiede di trovare la dimensione di vari sottospazi
$dim(Im(varphi)nnS)=2$
$dim(Ker(varphi)nnS_0)=0$
$dim(varphi(S))=3$
$dim(varphi^-1(S))=2$
Poi mi chiede se $varphi^-1(S)=V_3(R)$ e se $varphi^-1(S)= O/ $. Avendo risposto ad ambedue NO, devo fornire una rappresentazione cartesiana di $varphi^-1(S)$ e la mia risposta è stata
$3x_1+2x_2+2x_3=1$
ottenuta andando a sostituire nell'equazione dell'iperpiano le righe della matrice moltiplicate per i coefficienti $x_i$ ossia
$x_1(iperp)-=2x_1+x_2+x_3$
$x_2(iperp)-=x_1-x_2+x_3$
$x_3(iperp)-=x_1+x_3$
Risposte
Per prima cosa: cosa intendi per "direzione di $S$"? Considerato che $S$ è un piano, io direi che $S_0$ è lo spazio vettoriale generato dalla "giacitura" di $S$, cioè dal vettore $(1,-1,2)$, o no?
Allora, ti rispondo direttamente con la definizione del libro del professore 
"Sia $S_0$ un sottospazio lineare di $V$, sia $P$ un vettore di $V$ e sia $S=P+S_0$ il sottospazio affine ottenuto traslando $S_0$ di $P$"
In questo contesto $S_0$ è la direzione di $S$
Spero di aver risposto alla tua domanda!
L'esercizio prosegue poi con altri due punti, dove ho trovato un po' più di difficoltà
-Indicate una base geometrica di $S$
Ho esplicitato $x_1=x_2-2x_3+1$ e ho imposto $x_2=r$ e $x_3=s$, in questo modo posso scrivermi la parametrica
$ ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) = ( ( r-2s+1 ),( r ),( s ) ) =( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )r+((-2),(0),(1)) s+((1),(0),(0)) $
e la mia base geometrica sarà composta da tre vettori $(P,P+A,P+B)$ dove $A$ e $B$ sono i vettori colonna che moltiplicano rispettivamente $r$ ed $s$ e $P$ è il punto restante.
-Mi chiede poi di trovare una base geometrica di $varphi(S)$
Qui non saprei come procedere.
Io so che $varphi(S)=varphi*S$ dove $S$ lo posso rappresentare nella versione parametrica di prima, giusto?
E poi?
Mi potete aiutare?
Grazie!
"Sia $S_0$ un sottospazio lineare di $V$, sia $P$ un vettore di $V$ e sia $S=P+S_0$ il sottospazio affine ottenuto traslando $S_0$ di $P$"
In questo contesto $S_0$ è la direzione di $S$
Spero di aver risposto alla tua domanda!
L'esercizio prosegue poi con altri due punti, dove ho trovato un po' più di difficoltà
-Indicate una base geometrica di $S$
Ho esplicitato $x_1=x_2-2x_3+1$ e ho imposto $x_2=r$ e $x_3=s$, in questo modo posso scrivermi la parametrica
$ ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) = ( ( r-2s+1 ),( r ),( s ) ) =( ( 1 ),( 1 ),( 0 ) )r+((-2),(0),(1)) s+((1),(0),(0)) $
e la mia base geometrica sarà composta da tre vettori $(P,P+A,P+B)$ dove $A$ e $B$ sono i vettori colonna che moltiplicano rispettivamente $r$ ed $s$ e $P$ è il punto restante.
-Mi chiede poi di trovare una base geometrica di $varphi(S)$
Qui non saprei come procedere.
Io so che $varphi(S)=varphi*S$ dove $S$ lo posso rappresentare nella versione parametrica di prima, giusto?
E poi?
Mi potete aiutare?
Grazie!
Lascio qui e lì altre domande e dubbi 
In questo caso $S_0$ è un sottospazio lineare di $V_3$, e $S$ un sottospazio affine...giusto?
In questo caso $S_0$ è un sottospazio lineare di $V_3$, e $S$ un sottospazio affine...giusto?
Il fatto che sia sottospazio affine lo vedo dall'equazione che non è omogenea, giusto?
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