[esercizio] - Trasformazioni Affini
Buonasera ragà, ho svariati problemi con un esercizio di algebra lineare.
Ho una trasformazione affine $ varphi : V_3(R)rarr V_4(R) $ definita in questo modo:
$ varphi ((x_1,x_2,x_3))=(y_1,y_2,y_3,y_4) $ dove
$ ( ( y_1 ),( y_2 ),( y_3 ),( y_4 ) ) = ( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) +( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Le coordinate $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3,y_4$ sono date rispetto ai versori.
1- Calcolare la $dim(Im(varphi))$
Per calcolarmi questa dimensione mi sono andato a calcolare il rango della matrice
$( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )$
il quale risulta uguale a 3. $ rArr rank(Im(varphi))=3=dim(Im(varphi)) $
Giusto?
2- È vero che $ (4,3,0,4) in Im(varphi)$ ? Se si calcolate $dim(varphi^-1((4,3,0,4)))$.
Ecco, qui sono "morto". Non so dove mettere mano
Ho una trasformazione affine $ varphi : V_3(R)rarr V_4(R) $ definita in questo modo:
$ varphi ((x_1,x_2,x_3))=(y_1,y_2,y_3,y_4) $ dove
$ ( ( y_1 ),( y_2 ),( y_3 ),( y_4 ) ) = ( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) ( ( x_1 ),( x_2 ),( x_3 ) ) +( ( 1 ),( 0 ),( -1 ),( 1 ) ) $
Le coordinate $x_1,x_2,x_3,y_1,y_2,y_3,y_4$ sono date rispetto ai versori.
1- Calcolare la $dim(Im(varphi))$
Per calcolarmi questa dimensione mi sono andato a calcolare il rango della matrice
$( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) )$
il quale risulta uguale a 3. $ rArr rank(Im(varphi))=3=dim(Im(varphi)) $
Giusto?
2- È vero che $ (4,3,0,4) in Im(varphi)$ ? Se si calcolate $dim(varphi^-1((4,3,0,4)))$.
Ecco, qui sono "morto". Non so dove mettere mano
Risposte
1) corretto.
2) Il calcolo della dimensione ti permette anche di trovare una base dell'immagine e, una volta nota quella, puoi vedere se è possibile combinare i tre vettori per ottenere quello dato. Se la cosa è fattibile, allora ti faccio presente che
$$\varphi^{-1}(\vec{y})=\{\vec{x}\in V_3(\mathbb{R})\ :\ \varphi(\vec{x})=\vec{y}\}$$
per cui per trovare la pre-immagine del vettore dato basta risolvere un semplice sistema di equazioni.
2) Il calcolo della dimensione ti permette anche di trovare una base dell'immagine e, una volta nota quella, puoi vedere se è possibile combinare i tre vettori per ottenere quello dato. Se la cosa è fattibile, allora ti faccio presente che
$$\varphi^{-1}(\vec{y})=\{\vec{x}\in V_3(\mathbb{R})\ :\ \varphi(\vec{x})=\vec{y}\}$$
per cui per trovare la pre-immagine del vettore dato basta risolvere un semplice sistema di equazioni.
Grazie per la risposta.
Come base per l'immagine ho trovato questi 3 vettori:
$(1,1,1) ^^ (0,1,1/2) ^^ (0,0,1/2)$
Ora, non sono ferratissimo, ma è improbabile ottenere un vettore di 4 elementi, quando i vettori della base sono di 3...giusto?
Come base per l'immagine ho trovato questi 3 vettori:
$(1,1,1) ^^ (0,1,1/2) ^^ (0,0,1/2)$
Ora, non sono ferratissimo, ma è improbabile ottenere un vettore di 4 elementi, quando i vettori della base sono di 3...giusto?
Non è improbabile, è impossibile! 
Come li hai trovati i vettori di questa base, tanto per sapere?
Come li hai trovati i vettori di questa base, tanto per sapere?
"ciampax":
Non è improbabile, è impossibile!
Come li hai trovati i vettori di questa base, tanto per sapere?
Con una riduzione a scala della matrice per cui ho trovato la dimensione.
Errore?
E la quarta coordinata dove l''hai spedita?
Uh oh...a me riducendo a scala esce una matrice 3x3
Ok. Ho fatto un casino 
Riducendo a scala, per righe, ovviamente non mi trovo i vettori della base. Ma solo il rango, per trovarmi la dimensione. Non saranno i vettori della base, che devono avere per forza 4 elementi. Giusto?
Riducendo a scala, per righe, ovviamente non mi trovo i vettori della base. Ma solo il rango, per trovarmi la dimensione. Non saranno i vettori della base, che devono avere per forza 4 elementi. Giusto?
Ok, ho fatto un po' di ordine...spero:
I vettori della base saranno le colonne dalla matrice, in questo caso. Poichè $rank(Im(varphi))=3$ e le colonne della matrice sono 3.
Ora per sapere se il vettore $(4,3,0,4) in Im(varphi) $ vado a sostituire questo vettore al posto del vettore $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ e noto che sommando i coefficienti della matrice al vettore noto, l'equazione risulta soddisfatta. $ rArr (4,3,0,4) in Im(varphi) $
Risolvendo poi il sistema, il numero di equazioni che mi restano, mi darà la $dim(varphi^-1((4,3,0,4)))$
Ok..quante idiozie ho scritto?
I vettori della base saranno le colonne dalla matrice, in questo caso. Poichè $rank(Im(varphi))=3$ e le colonne della matrice sono 3.
Ora per sapere se il vettore $(4,3,0,4) in Im(varphi) $ vado a sostituire questo vettore al posto del vettore $(y_1,y_2,y_3,y_4)$ e noto che sommando i coefficienti della matrice al vettore noto, l'equazione risulta soddisfatta. $ rArr (4,3,0,4) in Im(varphi) $
Risolvendo poi il sistema, il numero di equazioni che mi restano, mi darà la $dim(varphi^-1((4,3,0,4)))$
Ok..quante idiozie ho scritto?
I vettori della base si trovano come hai appena detto. Non ho capito come hai determinato il fatto che il vettore dato appartenga all'immagine, comunque per trovare la sua controimmagine devi, effettivamente, risolvere il sistema nelle incognite $x$ avendo posto le $y$ pari alle componenti del vettore dato.
Meglio se non hai capito, visto che mi devo essere inventato qualche teorema
Il vettore appartiene all'immagine se il sistema ottenuto sostituendo il vettore alle $y_i$ è risolvibile.
Dopodichè risolvendo il sistema io so che
$# $ $variabili$ $x_i$ $-$ $#$ $equazioni$ $rimaste$ $=$ $dim(varphi^-1(P))$ dove $P$ è il vettore dato.
Così dovrebbe, spero, essere giusto.
Passando all'altro punto, mi si chiede la $dim(varphi(S))$ dove $S=(2,-1,0)+L((0,1,-1)),((0,1,1)))$
Qui vado a sostituire $S$ con $(x_1,x_2,x_3)$ dove $S$ è
$ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) + t_1( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ) t_2( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $
La dimensione che mi si chiede dovrebbe essere il rango della matrice che ottengo moltiplicando la matrice dell'immagine, per la matrice dei parametri $t_i$ ossia
$ ( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) * ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ),( -1 , 1 ) ) $
La matrice risultante sarà
$ ( ( -1 , 1 ),( 1 , 3 ),( -2 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ che ha $rank=2=dim(varphi(S))$
Vediamo se anche qui mi sono inventato qualche teorema.
Ho poi svolto anche l'altro punto in cui mi si chiede una rappresentazione cartesiana per il sottospazio affine $Im(varphi)$
Questa è stata un po' "pallosa" visto che ho risolto il sistema dato e sono soltanto conti, facendo "sparire" le variabili $x_i$. Io so che ho bisogno di una sola equazione, poichè la trasformazione va da $V_3(R)$ a $V_4(R)$ e quindi $4-3=1$.
Manipolando il sistema, sperando di non aver perso numerini per la via, mi trovo una sola equazione in $y$. Quella sarà la mia rappresentazione cartesiana.
Spero sia giusta anche questa!
Grazie per gli aiuti ragà!
Il vettore appartiene all'immagine se il sistema ottenuto sostituendo il vettore alle $y_i$ è risolvibile.
Dopodichè risolvendo il sistema io so che
$# $ $variabili$ $x_i$ $-$ $#$ $equazioni$ $rimaste$ $=$ $dim(varphi^-1(P))$ dove $P$ è il vettore dato.
Così dovrebbe, spero, essere giusto.
Passando all'altro punto, mi si chiede la $dim(varphi(S))$ dove $S=(2,-1,0)+L((0,1,-1)),((0,1,1)))$
Qui vado a sostituire $S$ con $(x_1,x_2,x_3)$ dove $S$ è
$ ( ( 2 ),( -1 ),( 0 ) ) + t_1( ( 0 ),( 1 ),( -1 ) ) t_2( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $
La dimensione che mi si chiede dovrebbe essere il rango della matrice che ottengo moltiplicando la matrice dell'immagine, per la matrice dei parametri $t_i$ ossia
$ ( ( 2 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , 1 ),( 1 , -1 , 1 ),( 1 , 1 , 1 ) ) * ( ( 0 , 0 ),( 1 , 1 ),( -1 , 1 ) ) $
La matrice risultante sarà
$ ( ( -1 , 1 ),( 1 , 3 ),( -2 , 0 ),( 0 , 1 ) ) $ che ha $rank=2=dim(varphi(S))$
Vediamo se anche qui mi sono inventato qualche teorema.
Ho poi svolto anche l'altro punto in cui mi si chiede una rappresentazione cartesiana per il sottospazio affine $Im(varphi)$
Questa è stata un po' "pallosa" visto che ho risolto il sistema dato e sono soltanto conti, facendo "sparire" le variabili $x_i$. Io so che ho bisogno di una sola equazione, poichè la trasformazione va da $V_3(R)$ a $V_4(R)$ e quindi $4-3=1$.
Manipolando il sistema, sperando di non aver perso numerini per la via, mi trovo una sola equazione in $y$. Quella sarà la mia rappresentazione cartesiana.
Spero sia giusta anche questa!
Grazie per gli aiuti ragà!
Non ho svolto i calcoli, ma il ragionamento mi pare corretto. Per la rappresentazione cartesiana, un modo veloce è quello di scrivere il sistema come $AX=Y-b$ dove $X,Y$ sono i vettori delle incognite, $A$ la matrice e $b$ il vettore dei termini noti e ridurre per righe le ultime tre righe, in modo da trovare $x$ in funzione delle $y$. A quel punto, sostituisci i valori trovati di $x$ nell'equazione $y_1=...$ e hai finito.
Grazie mille ciampax!
Ho gli ultimi due quesiti e poi ho finito, anche grazie a te!!!!
- $varphi$ è iniettiva? È invertibile?
È iniettiva perchè $dim(Im(varphi))=3$ e la trasformazione va da $V_3(R)$ in $V_4(R)$
Non essendo però suriettiva, poichè $V_4(R) > V_3(R) $, non è nemmeno invertibile.
Infine mi chiede se $ EE punti P in V_4(R):varphi^-1(P)=O/ $
Qui non mi è chiarissima la risoluzione, ammesso che sia giusta.
Se vado a porre $varphi=varphi(0)$, quindi a porre uguale a zero il mio vettore delle $x$, avrò il mio punto?
Quindi in questo caso la risposta sarebbe no, visto che se faccio così, mi resta il vettore noto.
Nel caso in cui il vettore noto non c'era, invece la risposta sarebbe stata si. Giusto?
Ho gli ultimi due quesiti e poi ho finito, anche grazie a te!!!!
- $varphi$ è iniettiva? È invertibile?
È iniettiva perchè $dim(Im(varphi))=3$ e la trasformazione va da $V_3(R)$ in $V_4(R)$
Non essendo però suriettiva, poichè $V_4(R) > V_3(R) $, non è nemmeno invertibile.
Infine mi chiede se $ EE punti P in V_4(R):varphi^-1(P)=O/ $
Qui non mi è chiarissima la risoluzione, ammesso che sia giusta.
Se vado a porre $varphi=varphi(0)$, quindi a porre uguale a zero il mio vettore delle $x$, avrò il mio punto?
Quindi in questo caso la risposta sarebbe no, visto che se faccio così, mi resta il vettore noto.
Nel caso in cui il vettore noto non c'era, invece la risposta sarebbe stata si. Giusto?
Dal momento che la funzione non è suriettiva, ovviamente esistono punti nel codominio che non hanno controimmagine.
Giusto. Quindi all'ultima domanda la risposta è si. Ed era anche ovvia!
Rieccomi qui!
Mi sono sorti alcuni dubbi su questo punto (anche sulla rappresentazione cartesiana in verità)
- la $dim(varphi(S))$ dove $S=(2,-1,0)+L((0,1,-1)),((0,1,1)))$
Io ho sostituito al vettore $x_i$ esattamente $S$. Poi ho calcolato il $rank$ della matrice risultante dalla matrice iniziale dell'$Im(varphi)$ per la matrice della combinazione lineare che si trova in $S$. In questo modo ho la dimensione ricercata.
Confrontandomi con un mio collega però, lui ha detto che la linearità copre l'affinità, quindi basta calcolare la dimensione della combinazione lineare.
In questo modo però non mi troverei.
Dov'è il bandolo della matassa?
p.s. per combinazione lineare intendo $L((0,1,-1)),((0,1,1)))$
Mi sono sorti alcuni dubbi su questo punto (anche sulla rappresentazione cartesiana in verità)
- la $dim(varphi(S))$ dove $S=(2,-1,0)+L((0,1,-1)),((0,1,1)))$
Io ho sostituito al vettore $x_i$ esattamente $S$. Poi ho calcolato il $rank$ della matrice risultante dalla matrice iniziale dell'$Im(varphi)$ per la matrice della combinazione lineare che si trova in $S$. In questo modo ho la dimensione ricercata.
Confrontandomi con un mio collega però, lui ha detto che la linearità copre l'affinità, quindi basta calcolare la dimensione della combinazione lineare.
In questo modo però non mi troverei.
Dov'è il bandolo della matassa?
p.s. per combinazione lineare intendo $L((0,1,-1)),((0,1,1)))$
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