Calcolo punti singolari: sistema equazioni di secondo grado.

[Claaaudia]

Ciao a tutti! Sono alle prese con un esercizio di Geometria 2 in cui mi viene richiesto di determinare i punti singolari della curva C: $x_0^2x_1^2-x_0^2x_2^2+x_1^2x_2^2=0$. Comincio quindi con il calcolare le derivate parziali rispetto a $x_0, x_1, x_2$ per poi uguagliarle a 0 e metterle a sistema. Ottengo le equazioni
$2x_0x_1^2-2x_0x_2^2=0$
$2x_0^2x_1+2x_1x_2^2=0$
$-2x_0^2x_2+2x_1^2x_2=0$
Dalla prima equazione ottengo $x_0(x_1^2-x_2^2)=0 $ e dunque le soluzioni $x_0=0, x_1=\pmx_2$. Sostituisco nella prima e nella seconda equazione, $x_0=0$, si ha:
$x_0=0$
$x_1x_2^2=0$
$x_1^2x_2=0$
A questo punto come procedo? Dalla seconda equazione le possibili soluzioni sono $x_1=0$ oppure $x_2=0$ ed in corrispondenza nella terza ottengo rispettivamente $x_2=1$ e $x_1=1$?

[ciampax]

Se sostituisci $x_0=0$ nella seconda e terza ottieni $x_1 x_2^2=0,\ x_1^2 x_2=0$ per cui, o $x_1=0,\ x_2=a$ o $x_1=a,\ x_2=0$, e quindi in definitiva i punti $[0,0,a],\ [0,a,0]$

Se sostituisci nella seconda e terza $x_1=x_2$ ottieni $2x_0^2 x_2+2x_2^3=0,\ -2x_0^2 x_2+2x_2^3=0$, che, sommate membro a membro conducono a $4x_2^3=0$, da cui $x_2=0$ e $x_0=a$, per cui i punti $[a,0,0]$

Se sostituisci nella seconda e terza $x_1=-x_2$ ottieni $-2x_0^2 x_2-2x_2^3=0,\ -2x_0^2 x_2+2x_2^3=0$, che, sottratte membro a membro conducono a $-4x_2^3=0$, da cui $x_2=0$ e $x_0=a$, per cui i punti $[a,0,0]$

In definitiva i punti sono $[0,a,a],\ [a,0,0]$ o, per meglio dire, $[0,1,1],\ [1,0,0]$.

[Claaaudia]

Perfetto, dubbi chiariti, gracias!