Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti.
A breve dovrò dare l'esame orale di Geometria 2, nell'ambito dell'algebra lineare non riesco a fare propriamente mia la relazione che sussiste esattamente tra "base ortonormale di autovettori di un endomorfismo autoaggiunto e la sua capacità di diagonalizzare l'endormofismo"
Cioè io so che se ho una base di autovettori $[v_1,......,v_n]$ allora se $T:V->V$ è l'endomorfismo si ha $T(v) = \lambda v_i$ $i = 1,....,n$ e la matrice associata $A$ è diagonale. ...
Salve gli esercizi in questione sono
1)
$T : R^3 → R^3$
$T(a, b, c) = (0, a + 3b − 2c, 2a + 6b − 4c)$
a) calcolare la matrice A associata a T rispetto alla base canonica
b) Stabilire se la funzione T `e iniettiva e/o suriettiva.
c) Determinare gli autovalori di A e dire se A `e diagonalizzabile; in caso affermativo trovare una
matrice diagonalizzante A
2)
Si considerino gli endomorfismi fs di R
3 definiti, rispetto alla base canonica, dalle
matrici
$As =((1, 1, −s),<br />
(s ,−s ,s),<br />
(2, s ,−4))$
al variare di s ∈ R.
a) Esiste qualche ...
Salve mi ritrovo un sistema di 3 equazioni in 3 incognite con una variabile k, il problema mi chiede di trovare le soluzioni.
Procedimento: trovo la matrice a scala della matrice associata al sistema.
Vedo per quali valori di k rg(A) $ != $ rg(A|b), in questo caso nessuna soluzione;
Per rg(A)=rg(A|b), se ho tanti pivot quante incognite, ho una soluzione, altrimenti mi calcolo le infinite soluzioni al variare di un parametro che prende il posto del valore mancante(cioe se ho 2 ...
Ciao a tutti ho un un dubbio sullo svolgimento di questo esercizio:
Sia $U$ il sottospazio di $R^3$ generato dai vettori ${(-4,1,1),(-2,2,0),(2,1,-1)}$ .Calcolare una base per $U$.
SOLUZIONE:
Una base di $U$ è data dai vettori linearmente indipendenti, pertanto li riscrivo in forma matriciale:
$((-4,1,1),(-2,2,0),(2,1,-1))$ $rArr$ R2->R2-(1/2)R1; R3->R3+(1/2)R1 $rArr$ $((-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,3/2,-1/2) )$ $rArr$ R3->R3-3R2 $( (-4,1,1),(0,1/2,-1/2),(0,0,1) )$
Quindi ...
ciao a tutti,so che sto scrivendo spesso,ma ho un esame l'11 luglio,geometria appunto,sarà già la terza volta....
il problema mi da in rassegna i seguenti vettori di $ R^2 $ : ${ v_1=(1,1),v_2=(2,-2),v_3=(6,6),v_4=(2,2)}$
e mi chiede: esistono endomorfismi $f:R^2\rightarrow \R^2$ tali che $f(v_1)=v_2,f(v_3)=v_4$ ?
Salve, so che ci stanno milioni di discussioni riguardanti tali argomento ma nessuna riesce a darmi una spiegazione soddisfacente. Allora mi servirebbe capire come si trovano: immagine, nucleo e relative dimensioni di una matrice A (che metterò ora qui sotto) e inoltre mi serve capire come trovare la dimensione del vettore associato. (vi prego però di non darmi definizioni teoriche che non mi servono tanto, più che altro voglio capire il metodo che applicate).
Ecco l'esercizio (mi servono da ...
Ciao a tutti, ho un problema su come ricavare i punti di una retta dalla sua equazione cartesiana in E3.
Ora vi posto un esempio:
ho questa retta s: $ { ( x-y=1 ),( x+z=4 ):} $ , la trasformo in forma parametrica ponendo y=s e ottengo
$ { ( x=1+s ),( y=s ),( z=3-s ):} $ , ora non so come fare per ricavare i punti, non so che procedimento operare.
Se qualcuno potrebbe spiegarmi ogni passaggio su come procedere.
Ringrazio tutti in anticipo
Si considerino i seguenti sottoinsiemi di $RR^4$:
$E={(x,y,z,t)$ $in$ $RR^4$ $| x-2y-z+t=0}$
$F={(x,y,z,t)$ $in$ $RR^4$ $| x-y-2z-t=0}$
(a) Provare che E ed F sono sottospazi di $in$ e si trovi una base di ciascuno di essi.
[size=150]SOLUZIONE[/size]:
Essendo il sistema omogeneo, $E$ è un sottospazio di $RR^4$ .
La matrice dei coefficienti è: $ A=( 1, 2, -1, 1)$ pertanto è evidente che ...
Ciao a tutti ragazzi! Mi sono imbattuta in questo esercizio che apparentemente mi era sembrato semplice, ma poi mi sono bloccata proprio sulla consegna :
"Si determinino gli elementi invertibili di Z_7 Si determini, se possibile, un elemento invertibile di Z_7 le cui potenze coincidono con tutti gli elementi invertibili di Z_7".
Per quanto riguarda gli elementi invertibili di Z_7: {1,2,3,4,5,6}, o sbaglio?
Ora, cosa vuol dire la seconda parte dell'esercizio? Come trovo il numero le cui ...
Ciao a tutti!! potreste darmi una mano con questo esercizio? non so qual è la soluzione quindi non so il risultato
a)Studiare al variare di $k$ $in$ $R$ la risolubilità del sistema.
b)Risolvere il sistema dell'esercizio precedente per $K=1$
$((1,-1,1,-k),(1,0,-k,-1),(2k,-k,1-k,-k^2-k))$
riducendolo a gradini dopo alcuni passaggi ottengo
$((1,-1,1,-k),(0,1,-k-1,-1+k),(0,0,k^2-2k+1))$
(scusate non capisco perchè non me lo mette in matrice forse scrivo male la formula)
alla fine $K=1$
ho ...
Ciao a tutti, vorrei sapere se il ragionamento va bene.
testo:
Si consideri l'endomorfismo $f$ di $RR^3$ :
$f : (x_1 , x_2 , x_3 ) -> (2 x_3 , - x_3 , 0 ) $
si determini $Im f $
la matrice associata è:
$((0,0,2),(0,0,-1),(0,0,0))$
il determinante è nullo, quindi il rango è minore di $3$. Il rango con la regola degli orlati è $1$
la $dim Im f = 1$ e $Im f = (2,-1,0)$
ma non capisco perchè chieda che sia:
$Im f \subset W $
dove $W = {(1,1,0), (0,1,0), (-1,0,0)}$
c'è qualcosa ...
Buongiorno a tutti,
Sono uno studente di matematica del secondo anno e questo semestre ho frequentato un corso di topologia algebrica.
Sto riscontrando dei problemi nel calcolo dei gruppi di omologia singolare di uno spazio topologico. Il professore, e le dispense che ci ha fornito, partono definendo il q-simplesso standard in $\mathbb{R}^q$ in questo modo:
$\Delta_q$ = { $\Sigma_(i=0)^q \lambda_i * E_i$ con $\lambda_i \>= 0$ e $\Sigma \lambda_i = 1$}
Dove $E_i$, per i che va da 1 a ...
Ciao a tutti, ho un dubbio su questo esercizio:
"In funzione del parametro $ h in CC$ dire qual'è la dimensione del sottospazio di $CC^3$ generato dai seguenti vettori:
$(h-1,h,-1)^t (h+1,1,h)^t (1+3h, h+2, 2h+h^2)^t$ "
Quindi io ho la seguente matrice:
$((h-1,h+1,1+3h),(h,1,h+2),(-1,h,2h+h^2))$
devo vedere se i tre vettori sono linearmente indipendenti, giusto?
Per h $!= +- i$ il rango è due quindi la dimensione è 2, è corretto?
Grazie
Scrivi un'equazione del piano α C R^3 ortogonale all'asse x e passante per il punto A(2;1;3).Non riesco proprio a svolgerlo,ho cercato sul web esercizi simili ma niente che potesse assomigliarli
salve a tutti,immagino sarete bombardati da messaggi per ora che è periodo d'esami tornando a noi sto cercando di risolvere questo esercizio "Fissato nello spazio affine euclideo usuale E^3 un riferimento cartesiano RC(O,x,y,z),si scriva una equazione cartesiana della sfera S\subset E^3 contenente la sfera \Gamma :\left\{\begin{matrix}
x^2+y^2+z^2-1=0 \\
x+2y+2z-2=0
\end{matrix}\right.
e tangente all'asse z."
la sfera data non è già una sfera che contiene la circonferenza \Gamma ? nel ...
Ciao a tutti!
Sto avendo difficoltà a risolvere questo esercizio:
Determinare la distanza tra la retta r generata da (1,2,1) e passante per (0,-1,2) e la retta di equazioni
x + y -z = 1 e x + 2y + 3z = 0
Applicando la formula per ottenere le equazioni parametriche ottengo:
$ { ( x = 1 -t ),( y = 2 -3t ),( z = 1 +t ):} $
Vedendo i parametri direttori delle due rette mi pare di capire che sono due rette sghembe, e quindi devo usare la formula
$ delta = ((| -d + d1| )/sqrt(a^2 + b^2 + c^2)) $
Però ora non capisco come arrivare a ottenere i ...
Salve ragazzi, ho un dubbio per quanto riguarda gli esercizi che mi chiedono di verificare l'iniettività, la suriettività e la biettività delle applicazioni lineari. Per la precisione il prof generalmente da due tipi di esercizi:
-Il primo in cui chiede: Data una Applicazione Lineare rappresentata dalla matrice X, determinare se essa è biettiva, suriettiva o iniettiva.
In questo caso io svolgo l'esercizio in questo modo: trovo il rango (e quindi la dimensione della matrice), faccio la trasposta ...
Salve ragazzi, vi scrivo oggi perchè ho dei dubbi riguardo alle forme quadratiche, quando il professore mi da degli esercizi so come risolverli, ovvero trovo gli autovalori e vedo il segno di essi, tuttavia non riesco a capire quando una forma quadratica è definita positiva, definita negativa, semidefinita positiva, semidefinita negativa o indefinita.
Da quello che ho capito, quando ho:
Tutti gli autovalori positivi maggiori di zero allora ho una forma definita positiva
Tutti gli autovalori ...
Salve a tutti,
vi scrivo in quanto sto cercando una conferma.
L'argomento è relativo alla Geometria euclidea ed al sistema assiomatico che la sottende, in particolare agli assiomi di continuità (Continuità Circolare, Elementare, Assioma di Archimede e di Aristotele ed infine, assioma di Dedekind, il padre di tutti gli assiomi citati )
Ogni volta che faccio riferimento alla lunghezza dei segmenti o alla misura in gradi di un angolo, utilizzo implicitamente (cioè assumo) l'assioma di ...
Ciao a tutti!
Nell'ultimo compito di Geometria e Algebra lineare mi sono scontrata con un esercizio diverso dal solito.
Date le rette: $ r_k $ $: { (x - z = 0), (x - y = k) } $ e $ s :{ (2y - x = 1), (x + y = 0) } $ .
Chiede di determinare la posizione reciproca tra le due rette al variare di $ k $ e ho fatto tutto il procedimento e mi torna.
Poi chiede per i valori di $ k $ per i quali le rette sono sghembe (a me tornano sghembe per valori di ...
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