Orientabilità di una superficie
Def:
Una superficie regolare $S$ è orientabile se può essere ricoperta da una famiglia $mathcal A$ di intorni coordinati tali che se $p in S$,$p$ appartiene a due intorni coordinati di $mathcal A$ allora la matrice Jacobiana del cambio di parametri è positiva in $p$.
Poi viene introdotto $N$, il versore normale, e la proposizione : una superficie regolare è orientabile se e solo se esiste un campo di versori normali su $S$.
Ma se ho capito bene: data $varphi : U sub RR^2 rightarrow S$ orientabile, l'orientazione dipende dalla scelta dell'orientazione di $Tp(S)$, che dipende dalla base associata ${varphi_u,varphi_v}$, giusto?
Una superficie regolare $S$ è orientabile se può essere ricoperta da una famiglia $mathcal A$ di intorni coordinati tali che se $p in S$,$p$ appartiene a due intorni coordinati di $mathcal A$ allora la matrice Jacobiana del cambio di parametri è positiva in $p$.
Poi viene introdotto $N$, il versore normale, e la proposizione : una superficie regolare è orientabile se e solo se esiste un campo di versori normali su $S$.
Ma se ho capito bene: data $varphi : U sub RR^2 rightarrow S$ orientabile, l'orientazione dipende dalla scelta dell'orientazione di $Tp(S)$, che dipende dalla base associata ${varphi_u,varphi_v}$, giusto?
Risposte
Sì, ma se questi due vettori sono sempre orientati nello stesso modo, ad esempio per andare dal primo al secondo devi sempre ruotare in senso antiorario, allora il vettore $N$ sarà sempre orientato nello stesso modo (sempre uscente dalla superficie - regola della mano destra del prodotto vettoriale) e non capiterà mai che si annulli o che si sposti all'interno.
Ciao,
una varietà differenziabile $X$ si dice orientabile se possiede un atlante differenziabile ${(U_\lambda, \phi_lambda)}_(\lambda in \Lambda)$ tale che in ogni $p in U_\lambda nn U_(\lambda')$ i sistemi di coordinate locali definiti da $\phi_\lambda$ e da $\phi_(\lambda')$ siano orientati concordemente per ogni coppia di indici $\lambda$, $\lambda'$ $in \Lambda$. Un atlante siffatto si dice orientato.
Pertanto se $X$ è orientabile, l'insieme di tutti gli atlanti orientati è ripartito in due classi disgiunte, ognuna costituita da atlanti tra loro concordemente orientati. Queste due classi si dicono "Orientazioni di $X$".
In pratica la scelta di una orientazione di una varietà, equivale alla scelta di una orientazione di tutti i suoi spazi tangenti "in modo coerente"; una volta assegnata una orientazione della varietà $X$, si assegna una orientazione in ogni $T_p(x)$ che varia con continuità al variare di $p$ e che è definita dalla base ${(\partial/(\partial_(x1)))_p,...., (\partial/(\partial_(xn)))_p}$ con $(x_1,..., x_n)$ coordinate locali in un intorno di $p$ definite da una carta locale appartenente all'atlante orientato che definisce l'orientazione di $X$.
Da questa definizione segue subito che se $X$ è orientabile, ogni sua sottovarietà aperta lo è. Quindi per dimostrare che una varietà $X$ non è orientabile, è sufficiente trovare una sua sottovarietà aperta che non è orientabile.
una varietà differenziabile $X$ si dice orientabile se possiede un atlante differenziabile ${(U_\lambda, \phi_lambda)}_(\lambda in \Lambda)$ tale che in ogni $p in U_\lambda nn U_(\lambda')$ i sistemi di coordinate locali definiti da $\phi_\lambda$ e da $\phi_(\lambda')$ siano orientati concordemente per ogni coppia di indici $\lambda$, $\lambda'$ $in \Lambda$. Un atlante siffatto si dice orientato.
Pertanto se $X$ è orientabile, l'insieme di tutti gli atlanti orientati è ripartito in due classi disgiunte, ognuna costituita da atlanti tra loro concordemente orientati. Queste due classi si dicono "Orientazioni di $X$".
In pratica la scelta di una orientazione di una varietà, equivale alla scelta di una orientazione di tutti i suoi spazi tangenti "in modo coerente"; una volta assegnata una orientazione della varietà $X$, si assegna una orientazione in ogni $T_p(x)$ che varia con continuità al variare di $p$ e che è definita dalla base ${(\partial/(\partial_(x1)))_p,...., (\partial/(\partial_(xn)))_p}$ con $(x_1,..., x_n)$ coordinate locali in un intorno di $p$ definite da una carta locale appartenente all'atlante orientato che definisce l'orientazione di $X$.
Da questa definizione segue subito che se $X$ è orientabile, ogni sua sottovarietà aperta lo è. Quindi per dimostrare che una varietà $X$ non è orientabile, è sufficiente trovare una sua sottovarietà aperta che non è orientabile.
Ooops 
ho visto ora che aveva già risposto "ciampax", purtroppo ho avuto problemi stamattina col forum...
ho visto ora che aveva già risposto "ciampax", purtroppo ho avuto problemi stamattina col forum...
Grazie delle risposte, mi sono state utili.
Esaustivi entrambi, grazie
PS: scusate se rispondo solo ora, stress da ultimo esame (è andato bene
)
Esaustivi entrambi, grazie
PS: scusate se rispondo solo ora, stress da ultimo esame (è andato bene
)
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