Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Ciao, ho questo esercizio:
Siano $A ∈ M_(m×n), B ∈ M_(n×t)$ due matrici con $det AB != 0$. Si dimostri che t ≤ n.
Lo svolgimento indicato mi è chiaro; quello che non capisco è: la matrice prodotto non appartiene a $M_(m × t)$? E quindi, se in generale AB non è quadrata, come si potrebbe definire il suo determinante, citato nel testo?
Salve a tutti, non riuscivo a capire quest esercizio:
a) Siano v1 (1,1,1,0), v2 (2,0,2,-1), v3 (-1,1,-1,1).Si determini una base di W=span {v1, v2, v3} C R^4 e la si completi ad una base di R^4.
Qua tramite gauss ho trovato la base W=span ((1,1,1,0); (0,2,0,1)) è giustohe ha dimensione 2, quindi per completarla a una base basta aggiungere il vettore (0,0,1,0).
b)Inoltre si determini se il vettore w (1,0,1,1) appartiene a span {v1, v2, v3}
Qua ho rifatto gauss aggiungendo nella quarta riga ...
Salve a tutti, avrei una domanda sulle forme differenziali e la derivazione esterna;
la DERIVATA ESTERNA è definita come:
una trasformazione lineare dalle k-forme alle (k+1)-forme, che rispetta tre proprietà fondamentali:
1) se f è una funzione la d coincide con il suo differenziale
2) se faccio d(df) trovo 0
3) e d(a ^ b)= da ^ b + (-1)^P (a ^db) se a è una p-forma
se ho una 1-forma w=f(x)dx e faccio la sua derivata esterna trovo:
d(w)=df^dx+f^dd(x)=df ^ dx
Vorrei sapere da dove è sbucato ...
Ho un problema con un esercizio di Geometria:
Sia V uno Spazio vettoriale, T1 e T2 sottoinsiemi di V e U1,U2 sottospazi di V.
Provare o dare un esempio di questa roba qua: T1 base di U1, T2 base di U2 allora T1 ∩ T2 è una base di V1 ∩ V2.
Per favore aiutatemi ad uscire da questa giungla di vettoriiiii!!!
Grazie
Si lo so, vi sto tartassando di domande, ma mi sto preparando per lo scritto di Algebra
Altro quesito:
Data la base $mathbb(B)=[(1,0,0,1),(1,0,0,-1),(0,1,1,0),(0,1,-1,0)]$ di $mathbb(R)^4$ determinare $M^mathbb(B)(f)$ dove $f(x,y,z,t)=(2x+t,x+y+hz,x+hy+z,x+2t)$ quindi io non ho fatto altro che fare sta cosa di qua:
$f[(1,0,0,1)_matbb(B)=[3,1,1,3]_mathbb(B)$
$f[(1,0,0,-1)_matbb(B)=[1,1,1,-1]_mathbb(B)$
$f[(0,1,-1,0)_matbb(B)=[0,1+h,h+1,0]_mathbb(B)$
$f[(0,1,-1,0)_matbb(B)=[0,1-h,h-1,0]_mathbb(B)$
Vado a confrontare il risultato con la professoressa e lei ha scritto ...
Salve a tutti, qualcuno potrebbe darmi una mano con il seguente esercizio sui sottospazi vettoriali?
il testo dice:
Stabilire se i seguenti insiemi sono sottospazi vettoriali di \(\displaystyle \mathbb{R}_{[t]}\)
\(\displaystyle \{\mathcal{P}(\mathcal{t^2}) ; \mathcal{P}(\mathcal{t})\in \mathbb{R}_{[t]}\};\\
\{\mathcal{P}(\mathcal{t})^2 ; \mathcal{P}(\mathcal{t})\in \mathbb{R}_{[t]}\}.\)
Non so da dove cominciare!
Grazie!!!
Salve a tutti, vorrei capire come svolgere questo genere di esercizi...
Si considera il sottospazio di \(\displaystyle R^{2,2} \)
\(\displaystyle U = ((1,0),(-1,0)) , ((2,1),(-2,0)) , ((0,0),(1,0)) , ((3,-4),(5,0)) \)
[nota]Scusatemi ma non mi escono le matrici. Ho usato anche il codice. Comunque è un sottospazio e ci sono quattro matrici 2x2. La prima parentesi è la prima riga e la seconda parentesi corrisponde alla seconda riga.[/nota]
Scrivere le equazioni di \(\displaystyle U \) nella ...
Ciao a tutti!
Ho una conica di equazione $ 5x^2+5y^2+6xy-8x-8y=0$.
Devo verificare che al variare di un punto $P$ sulla retta di equazione $y=0$ la polare di $P$ descrive un fascio di rette e determinare il centro di tale fascio.
Per il calcolo della polare si considera il prodotto $AP$ dove $A$ è è la matrice associata alla conica.
Che coordinate ha il punto $P$? $(k,0,1)$?
E' giusto come ragionamento?
Si considerino le seguenti topologie su R: naturale, semirette destre, semirette sinistre, topologia discreta, (0,R,]-a,a[ con a>0) e (0, R, ]1,4[).
Si consideri la successione x=(-1)^n
Si determinino gli eventuali punti di convergenza in ciascuna delle topologie assegnate
Buongiorno ragazzi, vi propongo un testo di un esercizio che sinceramente non so nemmeno da dove iniziare
Dato $V={(x,y,z,t) in mathbb(R)^4 : y-z=0}$, calcolare $f^(-1)(V)$, al variare di $h in mathbb(R)$.
La matrice associata è:
$M(f)=( ( 2 , 0, 0, 1),( 1, 1, h, 0),( 1, h, 1, 0),( 1, 0, 0, 2) ) $
Quindi io se avessi avuto un vettore tipo $v_1=(1,2,3,4)$ non avrei fatto altro che andarmia risolvere il sistema $M(f)*( ( x ),( y ),( z ),( t ) ) = ( (1 ),( 2 ),( 3),( 4 ) )$ ma io il vettore non ce l'ho...posso inventami un vettore dal nulla purchè la relazione $y-z=0$ sia ...
Ciao,
sono un attimo in crisi con questo esercizio.
"Considerare l'insieme delle coppie ordinate di numeri interi $S= {(x,y)\in Z^2| -2<=x<=2, 2<=y<=5}$ e la relazione d'ordine $<=$ tra gli elementi di S definita da $(x1, y1)<=(x2, y2)$ se e solo se $x1<x2$ oppure $x1 = x2$ e $y1 >= y2$.
1) Verificare che $<=$ sia una relazione d'ordine totale in S
2) Determinare il minimo di S rispetto a $<=$
3) Se si elencano le coppie in ordine crescente, in quale ...
Ciao a tutti!
Sto seguendo un corso di Sistemi Multivariabili ad Ingegneria Informatica e mi servirebbe avere un po' di dimestichezza su argomenti come immagine e nucleo di una matrice. Sapete consigliarmi qualche dispensa fatta bene al riguardo ed anche qualche esercizio esplicativo? Grazie mille!
Ciao ragazzi, stiamo studiando le coniche e oggi abbiamo visto l'intersezione di una conica con una retta propria. Vi allego l'immagine del pezzo e ho riquadrato in rosso le parti che non ho capito.
Allora ho capito che ha messo a sistema l'equazione della conica con le equazioni parametriche della retta e ha sostituito nella conica x e y della retta e ha svolto i vari passaggi, poi ha posto i coefficienti uguali ad alfa, beta e sigma. Il resto non l'ho capito. Ad esempio dice se a=0 allora ...
Salve a tutti!! Qualcuno mi aiuta a risolvere questo sistema ? Grazie mille
Ragazzi ho provato a ridurre questa matrice, ma non capisco dove sbaglio...alla prof viene Rango=3 a me viene Rango=4
$( ( 2 , 0 , 0 , 1 ),( 1 , 1 , -1 , 0 ),( 1 , -1 , 1 , 0 ),( 1 , 0 , 0 , 2 ) ) $
Per evitare di riscrivere ogni volta le varie matrici per la riduzione permettetemi di scrivere solo le formule
$R'_2=2R_2-R_1$
$R'_3=2R_3-R_1$
$R'_4=2R_4-R_1$
Successivamente ho fatto un'altra riduzione $R''_3=R'_3+R'2$
Al che mi è spuntata fuori questa matrice
$( ( 2 , 0 , 0 , 1 ),( 0 , 2 , -2 , -1 ),( 0 , 0 , 0 , 2),( 0 , 0 , 0 , 3 ) ) $
Che è ridotta (?? mi sta venendo anche a me ora il dubbio xD) ma ha ...
Sia V uno spazio vettoriale e \(\displaystyle F: V \longrightarrow R \) un'applicazione lineare. Sia W il sottoinsieme di tutti gli elementi v di V tali che F(v) = 0. Si assuma che W è diverso da V, e sia v' un elemento di V che non appartiene a W. Si dimostri che ogni elemento di V può essere scritto come la somma w + cv' dove w appartiene a W e c è un opportuno scalare.
Io ho pensato che, se un generico elemento v di V può essere scritto come v = w + cv' allora si distinguono due casi:
1. ...
Ciao!
Ho questo problema
Discutere sotto quali condizioni, dati due coppie di punti del piano $ (P_1,Q_1) $ e $ (P_2,Q_2) $ esiste una isometria $ f $ tale che $ f(P_1) = P_2 $ e $ f(Q_1) = Q_2$.
Io so che per essere isometria $ d (P_1,Q_1) = d (P_2,Q_2)$ quindi $ d (P_1,Q_1) = d (f(P_1),f(Q_1))$
Che posso dire ulteriormente?
Sia V uno spazio vettoriale di dimensione finita su K e sia \(\displaystyle F : V \longrightarrow V \) una applicazione lineare idempotente, cioè tale che
\(\displaystyle F ° F = F \)
Dimostrare che vale la relazione \(\displaystyle V = KerF \oplus ImF \)
Io ho pensato che se F ° F = F, allora devono coincidere l'insieme di partenza di F e ImF ( poiche F ° F ( v ) = F( F ( v ) ) ), ma allora, essendo l'insieme di partenza V, ImF = V, in particolare dim ImF = dim V, e allora KerF = { O }. Se ...
Si considerino le seguenti topologie su R: naturale, semirette destre, semirette sinistre, topologia discreta, (0,R,]-a,a[ con a>0) e (0, R, ]1,4[).
In ciascuna di esse, si esibiscano, se esistono
1) un ricoprimento di R fatto di aperti da cui NON si possa estrarre un sottoricoprimento finito
2) un ricoprimento di R fatto di chiusi da cui NON si possa estrarre un sottoricoprimento finito
3) un ricoprimento di R fatto di aperti da cui si possa estrarre un sottoricoprimento finito
- si ...
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