Determinare se un vettore appartiene a una base
Salve a tutti, non riuscivo a capire quest esercizio:
a) Siano v1 (1,1,1,0), v2 (2,0,2,-1), v3 (-1,1,-1,1).Si determini una base di W=span {v1, v2, v3} C R^4 e la si completi ad una base di R^4.
Qua tramite gauss ho trovato la base W=span ((1,1,1,0); (0,2,0,1)) è giustohe ha dimensione 2, quindi per completarla a una base basta aggiungere il vettore (0,0,1,0).
b)Inoltre si determini se il vettore w (1,0,1,1) appartiene a span {v1, v2, v3}
Qua ho rifatto gauss aggiungendo nella quarta riga questo vettore w e mi viene una base W=span (1,1,1,0); (0,2,0,1); (0,0,2,1); (0,0,0,1)) con dimensione 4 che nn coincide con la dimensione 3 della base precedente quindi non vi appartiene il vettore w (non so se è giusto)
c) si indichi per quali valori di k (se esistono) il vettore (k,0, k,1) appartiene a W.
Qua ad occhio vedo che se k vale 0 il vettore viene (0,0,0,1) quindi una base, ma non so come procedere per farlo....grazie per l aiuto!!!
a) Siano v1 (1,1,1,0), v2 (2,0,2,-1), v3 (-1,1,-1,1).Si determini una base di W=span {v1, v2, v3} C R^4 e la si completi ad una base di R^4.
Qua tramite gauss ho trovato la base W=span ((1,1,1,0); (0,2,0,1)) è giustohe ha dimensione 2, quindi per completarla a una base basta aggiungere il vettore (0,0,1,0).
b)Inoltre si determini se il vettore w (1,0,1,1) appartiene a span {v1, v2, v3}
Qua ho rifatto gauss aggiungendo nella quarta riga questo vettore w e mi viene una base W=span (1,1,1,0); (0,2,0,1); (0,0,2,1); (0,0,0,1)) con dimensione 4 che nn coincide con la dimensione 3 della base precedente quindi non vi appartiene il vettore w (non so se è giusto)
c) si indichi per quali valori di k (se esistono) il vettore (k,0, k,1) appartiene a W.
Qua ad occhio vedo che se k vale 0 il vettore viene (0,0,0,1) quindi una base, ma non so come procedere per farlo....grazie per l aiuto!!!
Risposte
Ciao e benvenuto sul forum,
procediamo per gradi: giustamente determini che la dimensione di una base di $W$ è $2$, quindi puoi prendere anche $v_1$ e $v_2$ come base di $W$ perché sono linearmente indipendenti. Poi però il testo ti chiede di completare questi due vettori ad una base di $RR^4$. Ora visto che una base di $RR^4$ ha ovviamente dimensione $4$ (cioè è formata da quattro vettori) tu ne dovrai aggiungere $2$, e non uno solo! In particolare dovrai trovare due vettori che siano linearmente indipendenti da $v_1$ e $v_2$ e l'approccio più utilizzato è quello di cercare all'interno dei vettori della base canonica.
Quando abbiamo sistemato e chiarito questo punto passiamo al successivo, ok?
procediamo per gradi: giustamente determini che la dimensione di una base di $W$ è $2$, quindi puoi prendere anche $v_1$ e $v_2$ come base di $W$ perché sono linearmente indipendenti. Poi però il testo ti chiede di completare questi due vettori ad una base di $RR^4$. Ora visto che una base di $RR^4$ ha ovviamente dimensione $4$ (cioè è formata da quattro vettori) tu ne dovrai aggiungere $2$, e non uno solo! In particolare dovrai trovare due vettori che siano linearmente indipendenti da $v_1$ e $v_2$ e l'approccio più utilizzato è quello di cercare all'interno dei vettori della base canonica.
Quando abbiamo sistemato e chiarito questo punto passiamo al successivo, ok?
Intanto grazie per la risposta!!! dunque non basta aggiungere un solo vettore ma 2 quindi oltre a (0,0,1,0) possiamo aggiungere (0,0,0,1) cosi che restano linearmente indipendenti.
Esatto! Ora vogliamo stabilire se $v=[1\ 0\ 1\ 1]^T$ appartiene a $W$ oppure no. Dato che abbiamo stabilito che ${v_1, v_2}$ è una base di $W$ possiamo costruire la matrice $[v_1, v_2, v]$ e vedere se il terzo vettore è linearmente dipendente dai primi due oppure no. Questo equivale a chiedersi se il rango della matrice $[v_1, v_2, v]$ è $2$ oppure $3$. In particolare si scopre che il rango è $3$, cioè il terzo vettore è linearmente indipendente dai primi due. Questo significa che non è possibile ottenere $v$ come combinazione lineare di $v_1$ e $v_2$, quindi $v \notin W$, come dicevi tu.
Tutto chiaro?
Tutto chiaro?
Probabilmente ho sbagliato qualcosa, ho preso i 2 vettori della base (1,1,1,0) e (0,2,0,1) e ho fatto gauss aggiungendo anche il vettore che mi hanno dato (1,0,1,1). Facendo Gauss con questi 3 vettori mi escono fuori (1,1,1,0); (0,2,0,1); (0,0,0,3) quindi secondo me ha dimensione 3 (con rango intendi dimensione?), quindi dato che è diversa dalla dimensione della base trovata precedentemente non appartiene il vettore w non appartiene a a Span {v1, v2, v3}
Non so se hai capito e ti sei solo espresso male oppure se c'è qualcosa che non ti è chiaro...
Quando tu affianchi i tre vettori ottieni una matrice, sulla quale puoi applicare l'algoritmo di riduzione di Gauss. Ora se il terzo vettore fosse linearmente dipendente dagli altri due dovresti riuscire a trovare una sequenza di operazioni che ti porti questo vettore ad essere il vettore nullo. Il fatto che tu non ci riesca significa che il terzo vettore non è esprimibile come una combinazione lineare dei primi due. Di conseguenza non è parte del sottospazio generato da $v_1, v_2$.
Invece quando parlo di rango, intendo proprio il concetto di rango di una matrice, definito come la dimensione del più grande minore invertibile che si può estrarre dalla matrice considerata. Il rango di quella matrice (che si calcola con procedimenti che forse non hai ancora visto) è $3$, quindi esistono tre vettori linearmente indipendenti. Dato che la matrice è formata proprio da tre vettori puoi concludere che tutti i vettori della matrice sono linearmente indipendenti. Quindi, di nuovo, il terzo vettore è indipendente dai primi due e di conseguenza non appartiene al sottospazio da essi generato.
Quando tu affianchi i tre vettori ottieni una matrice, sulla quale puoi applicare l'algoritmo di riduzione di Gauss. Ora se il terzo vettore fosse linearmente dipendente dagli altri due dovresti riuscire a trovare una sequenza di operazioni che ti porti questo vettore ad essere il vettore nullo. Il fatto che tu non ci riesca significa che il terzo vettore non è esprimibile come una combinazione lineare dei primi due. Di conseguenza non è parte del sottospazio generato da $v_1, v_2$.
Invece quando parlo di rango, intendo proprio il concetto di rango di una matrice, definito come la dimensione del più grande minore invertibile che si può estrarre dalla matrice considerata. Il rango di quella matrice (che si calcola con procedimenti che forse non hai ancora visto) è $3$, quindi esistono tre vettori linearmente indipendenti. Dato che la matrice è formata proprio da tre vettori puoi concludere che tutti i vettori della matrice sono linearmente indipendenti. Quindi, di nuovo, il terzo vettore è indipendente dai primi due e di conseguenza non appartiene al sottospazio da essi generato.
Dunque credo di aver più o meno capito, si può vedere se il vettore appartiene al sottospazio generato dai primi 2 in 2 modi:
-1) mettere tutti e 3 i vettori a matrice e ridurli con l algoritmo di gauss ( in questo caso vengono le righe v1 (1,1,1,0);v2 (0,2,0,1) v3(0,0,0,3) quindi dato che abbiamo trovato riducendo una matrice scala per righe i tre vettori, essi sono linearmente indipendenti ,cioè il terzo vettore non si puo esprimere come combinazione lineare dei primi 2 e non appartiene al sottospazio generato da essi (se la terza riga della matrice ridotta con l algoritmo di Gauss veniva (0,0,0,0) allora il terzo vettore era linearmente dipendente dai primi 2, quindi apparteneva al sottospazio da essi generato)
-2) tramite il rango----> riduciamo sempre la matrice formata dai vettori con gauss e troviamo i 3 pivot (li chiama cosi su internet) che sarebbero i primi numeri non nulli su ogni riga (nel nostro caso 1 sulla prima riga, 2 sulla seconda e 3 sulla terza) quindi la matrice ha rango 3.Dato che i vettori della matrice sono uguali al rango possiamo dire che tutti i vettori sono linearmente indipendenti, quindi il vettore dato non appartiene al sottospazio generato dagli altri 2.
-1) mettere tutti e 3 i vettori a matrice e ridurli con l algoritmo di gauss ( in questo caso vengono le righe v1 (1,1,1,0);v2 (0,2,0,1) v3(0,0,0,3) quindi dato che abbiamo trovato riducendo una matrice scala per righe i tre vettori, essi sono linearmente indipendenti ,cioè il terzo vettore non si puo esprimere come combinazione lineare dei primi 2 e non appartiene al sottospazio generato da essi (se la terza riga della matrice ridotta con l algoritmo di Gauss veniva (0,0,0,0) allora il terzo vettore era linearmente dipendente dai primi 2, quindi apparteneva al sottospazio da essi generato)
-2) tramite il rango----> riduciamo sempre la matrice formata dai vettori con gauss e troviamo i 3 pivot (li chiama cosi su internet) che sarebbero i primi numeri non nulli su ogni riga (nel nostro caso 1 sulla prima riga, 2 sulla seconda e 3 sulla terza) quindi la matrice ha rango 3.Dato che i vettori della matrice sono uguali al rango possiamo dire che tutti i vettori sono linearmente indipendenti, quindi il vettore dato non appartiene al sottospazio generato dagli altri 2.
Sì, direi che ci siamo!
Grazie mille per l'aiuto e la pazienza!!!
Per l'ultimo punto (quello con il $k$) hai risolto o lo dobbiamo vedere?
Ah già, me l ero addirittura scordato il terzo punto, mi sa che ho avuto una genialata, o forse ho sbagliato come prima
dato che bisogna formare una combinazione lineare ho fatto:
a (1,1,1,0)+b (0,2,0,1)+c (k, 0, k,-1)=0 poi da queste ho trovato quattro equazioni e svolgendole alla fine ho trovato k=2
Quindi il vettore diventa (2,0,2,-1). Facendo Gauss questa volta nell ultima riga trovo (0,0,0,0) quindi il rangoè 2 quindi ci sono 2 vettori linearmente indipendenti (quelli della base) e l altro é linearmente dipendente coi primi 2 quindi si puo scrivere come combinazione lineare di essi e dunque appartiene al sottospazio generato da questi 2
dato che bisogna formare una combinazione lineare ho fatto:
a (1,1,1,0)+b (0,2,0,1)+c (k, 0, k,-1)=0 poi da queste ho trovato quattro equazioni e svolgendole alla fine ho trovato k=2
Quindi il vettore diventa (2,0,2,-1). Facendo Gauss questa volta nell ultima riga trovo (0,0,0,0) quindi il rangoè 2 quindi ci sono 2 vettori linearmente indipendenti (quelli della base) e l altro é linearmente dipendente coi primi 2 quindi si puo scrivere come combinazione lineare di essi e dunque appartiene al sottospazio generato da questi 2
C'è qualche problema... Diciamo che prendiamo una base di $W$ e le affianchiamo il vettore dipendente dal parametro. Otteniamo quindi
\[
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\1&0&k\\0&1&1
\end{bmatrix}
\] A questo punto, affinché il terzo vettore appartenga al sottospazio generato dai primi due, dovremo avere che la terza colonna è linearmente dipendente dalle prime due. Questo equivale a richiedere che il rango della matrice sia $2$, cioè che vi siano solo due vettori linearmente indipendenti. Procediamo con la tecnica dei minori orlati (teorema di Kronecker): individuiamo un minore $2xx2$ invertibile, ad esempio quello nell'angolo in alto a sinistra
\[
\begin{bmatrix}
1&0\\1&2
\end{bmatrix}
\] Ora procediamo a costruire gli orlati ed otteniamo le seguenti matrici $3xx3$:
\[
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\1&0&k
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\0&1&1
\end{bmatrix}
\] Dobbiamo imporre che i determinanti di queste matrici siano nulli: se così non fosse allora esisterebbe un minore $3xx3$ invertibile, quindi la matrice avrebbe rango $3$, quindi i tre vettori sarebbero linearmente indipendenti, quindi il terzo vettore non apparterrebbe al sottospazio generato dai primi due.
Per quanto riguarda la prima matrice, si vede bene che la prima riga e la terza sono uguali per qualsiasi valore di $k$, quindi il determinante è sempre nullo: non dobbiamo imporre alcuna condizione.
Per quanto riguarda la seconda, calcoliamo il determinante che viene $k+2$. A questo punto dobbiamo imporre
\[
k+2 = 0
\] e quindi $k=-2$ è il valore cercato.
\[
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\1&0&k\\0&1&1
\end{bmatrix}
\] A questo punto, affinché il terzo vettore appartenga al sottospazio generato dai primi due, dovremo avere che la terza colonna è linearmente dipendente dalle prime due. Questo equivale a richiedere che il rango della matrice sia $2$, cioè che vi siano solo due vettori linearmente indipendenti. Procediamo con la tecnica dei minori orlati (teorema di Kronecker): individuiamo un minore $2xx2$ invertibile, ad esempio quello nell'angolo in alto a sinistra
\[
\begin{bmatrix}
1&0\\1&2
\end{bmatrix}
\] Ora procediamo a costruire gli orlati ed otteniamo le seguenti matrici $3xx3$:
\[
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\1&0&k
\end{bmatrix} \qquad
\begin{bmatrix}
1&0&k\\1&2&0\\0&1&1
\end{bmatrix}
\] Dobbiamo imporre che i determinanti di queste matrici siano nulli: se così non fosse allora esisterebbe un minore $3xx3$ invertibile, quindi la matrice avrebbe rango $3$, quindi i tre vettori sarebbero linearmente indipendenti, quindi il terzo vettore non apparterrebbe al sottospazio generato dai primi due.
Per quanto riguarda la prima matrice, si vede bene che la prima riga e la terza sono uguali per qualsiasi valore di $k$, quindi il determinante è sempre nullo: non dobbiamo imporre alcuna condizione.
Per quanto riguarda la seconda, calcoliamo il determinante che viene $k+2$. A questo punto dobbiamo imporre
\[
k+2 = 0
\] e quindi $k=-2$ è il valore cercato.
Caspita grazie mille, da solo non ci sarei mai arrivato a questa soluzione!!!
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