Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Salve a tutti,
ho questo problema:
ho due matrici quadrate A e B della stessa dimensione a valori reali con le seguenti proprietà:
La matrice A è non singolare, ha tutti elementi 1 sulla diagonale e se un elemento a_{ij}!=0 allora a_{ji}=0 con i!=j;
La matrice B invece è singolare, ha tutti elementi 0 sulla diagonale e se la k-esima riga (o colonna) è diversa dal vettore nullo allora la k-esima colonna (o riga) è tutta nulla. La matrice B dovrebbe essere nilpotente.
ho bisogno di dimostrare ...
Buonasera a tutti. Vorrei proporvi una domanda di algebra lineare, relativamente ad un sistema lineare.
Se consideriamo un sistema lineare del tipo:
$[A] [X] = <strong>$
Caratterizzato da un numero di incognite superiore al numero di equazioni, si può dire che posso scegliere i coefficienti della matrice $[A]$ in modo tale il sistema abbia soluzioni e che la somma di due di esse sia ancora una soluzione del sistema lineare?
Si sa che un sistema con più incognite che equazioni ha ...
ciao a tutti! sono bloccato su questo esercizio e non riesco ad andare avanti. mi aiutate?
siano V lo spazio vettoriale complesso delle funzioni \( f\ : \ [0,2\pi] \rightarrow \mathbb{C} \) e \( W=Span \ \mathcal{B}\) con \(\mathcal{B}=\left \{ sin \ t \ , \ cos \ t \right \} \).
(i) Si dimostri che \( \mathcal{B} \) e \(\mathcal{B'}=\left \{ e^{it} \ , e^{-it} \right \}\) sono basi di W e si determinino le matrici dei cambiamenti di base da \( \mathcal{B} \) a \( \mathcal{B'} \) e da \( ...
qualcuno saprebbe dirmi come faccio a dimostrare che avendo un vettore $ vec(v)= (x,y) $ allora $ lambda vec(v)= (lambda x,lambda y) $
so per definizione che n vettori di uno spazio vetoriale $ V $ : $ vec(e1),vec(e2),...,vec(en $ costituiscono una base se sono linearmente indipendenti e ogni altro vettore di $ V $ può scriversi come combinazione lineare di questi.Ora il mio dubbio era se posso affermare che una combinazione lineare dei vettori della base corrisponde sempre ad un vettore di $ V $ .Cioè se ho $ vec(e1),vec(e2),...,vec(en $ linearmente indipendenti, posso affermare che ogni vettore ...
ciao a tutti,
come da titolo, ho difficoltà nel comprendere questa parte:
ossia non capisco come, ad esempio, data una funzione appartenente a uno spazio vettoriale, questa possa essere riscritta come combinazione lineare di n funzioni linearmente indipendenti (le costanti non dovrebbero essere tutte uguali a zero in questo caso?.. )
vi ringrazio
Ragazzi perdonatemi se posto spesso ma ho un esame a breve..e poi voi siete fantastici. Vengo al dunque ,ho provato a dimostrare questa formula e visto che dopo averlo fatto ho visto altrove che la dimostrazione viene fatta in modo diverso(senz'altro meglio di come l 'ho fatta io ) volevo sapere se la mia versione é corretta.
\(\displaystyle dimU + dimW =\) $dim (U nn W) + dim (U + W)$
Prendo base $U ={vec u_1 ,...., vec u_n}$ e base $ W={vec w_1 ,..., vec w_m}$
$dim U=n ,dim W=m => dim U + dim W = n+m.$
$(U+W) = span{vec u_1 ,..., vec u_n , vec w_1 ,...., vec w_m}$ composto da ...
mi viene richiesto di dimostrare che dati tre vettori nello spazio linearmente indipendenti posso sempre scrivere un quarto vettore come combinazione lineare di questi. ho provato a disegnare il tutto ma non mi riesce di dimostrarlo
se ho un vettore $ vec(nu) = alpha vec(rho ) $ vuol dire che $ vec(nu ) $ e $ vec(rho ) $ sono linearmente dipendenti ma se io aggiungo un vettore con coefficiente nullo a destra dell'uguale vale ancora l' uguaglianza? e posso dire che i tre vettori sono linearmente dipendenti? cioè posso dire che $ vec(nu )= alpha vec(rho ) + 0vec(mu ) $ e dire che i tre vettori sono dipendenti?
Stavo provando a dimostrare $ 2^n >= 2n $ attraverso il principio di induzione
quindi:
- $ 2^0 >= 2*0 $ che è vera in quanto $ 1 > 0 $
Poi do per vera $ 2^n >= 2n $ e dimostro $ 2^(n+1) >= 2(n+1) $ e risolvendo ottengo $ 2^n * 2 >= 2n+2 $
e ora? come procedo?
cioè potrei dividere per 2 sia a destra che a sinistra ottenendo $ 2^n >= n+1 $ ma non mi sembra un gran risultato
Ciao a tutti
Ho questa applicazione lineare a cui devo trovare ker e immagine.
$f$ $:$ $RR^3$ $to$ $RR$
$f(e_1)=2e_1$
$f(e_2)=e_1$
$f(e_3)=3e_1$
Il mio problema sorge perché c'è $RR$ ,e non so quante "coordinate" hanno i suoi vettori. Sono così $f(e_1)=(2)$ oppure
$f(e_1)=(2,0)$ ?
Vi ringrazio
Ciao a tutti !
Sono alle prese con questo esercizio e mi sono perso in un piccolo passaggio.
Ho un piano definito da $pi :$ $\{(x=1+s+2t ),(y=3s),(z=2+t):}$
Devo trovare la retta $r$ perpendicolare al piano ,allora trovo la normale facendo il prodotto vettoriale tra $vec a =(2,0,1), vec b=(1,3,0)$ coefficienti di $t$ e $s$. Mi viene $r :$ ${(x=2-3t),(y=1+t),(z=6t):}$
Ora devo trovare il piano $alpha$ per $Q=(1,0,1)$ e per $r$.
Per farlo ...
Sto affrontando il seguente problema:
Sono dati due triangoli ABO e CDO. Il punto O è in comune
Nel mio sistema di riferimento x,y, ho fra i dati noti le coordinate di A e di B (quindi anche la distanza AB), la lunghezza CD e le leggi di moto c(t) (distanza AD) e d(t) (distanza BC).
Ho scelto il sistema di riferimento con origine in B ed è solidale col triangolo superiore (pertanto fisso).
Il triangolo inferiore OCD ruota invece con centro di rotazione in O al variare di c(t) ...
Ciao a tutti, sto studiando calcolo numerico e mi sono bloccata su una cosa che però riguarda l'algebra, può sembrare una domanda stupida, lo so, non odiatemi.. Vengo al dunque, il mio dilemma è questo:
\(\displaystyle \boldsymbol{{\begin{bmatrix}
0\\
0\\
0\\
0\\
1
\end{bmatrix} * \left ( 1 , 1 , 1 , 1 , 0 \right ) }} \)
in casi del genere moltiplicherei ogni membro e poi li sommerei, nella fattispecie (0*1 + 0*1 + 0*1 + 0*1 + 1*0), e, avrei come risultato uno scalare... Bene, sia il ...
ciao a tutti! non so proprio come fare questo esercizio. mi date una mano?
Si consideri lo spazio vettoriale complesso \( V=\left\{ f \in C^\infty ([0,1], \mathbb{C}) \quad:\quad u^{(k)} (0)=u^{(k)} (1) =0\ per\ ogni\ k \right\} \) delle funzioni complesse derivabili infinite volte con derivate di ogni ordine continue in \([0,1]\) e nulle in 0 e 1, munite del prodotto hermitiano
\( (f,g)=\int^{1}_{0} \overline{f(x)}g(x) \ dx .\)
Per ogni \(\alpha \in \mathbb{C}\), si consideri l'endomorfismo ...
Salve ragazzi, come faccio a capire se questi vettori sono linearmente dipendenti o indipendenti fra loro?
(2,1,3) e (1,1,2)
(4,2,6) e (6,3,9)
(0,0,0) e (1,1,2)
Grazie
Su una dispensa ho trovato il seguente teorema: "Date due norme differenti $||\cdot||'$ e $||\cdot||''$ esistono $\alpha,\beta>0$ tali che $\alpha||x||''<=||x||'<=\beta||x||''$ per qualsiasi $x in R^n$". Purtroppo non viene indicato ne il nome del teorema ne la sua dimostrazione. Qualcuno potrebbe dirmi di più a riguardo? Grazie.
ciao,
mi trovo davanti questa funzione:
$ \text{atan2}(sin (\alpha+\beta+\gamma),cos (\alpha+\beta+\gamma)) $
in che modo semplificarla?
il range dei vari angoli è:
$\alpha\in[0^\circ, +180^\circ]$
$\beta\in[0^\circ, +145^\circ]$
$\gamma\in[-45^\circ, +45^\circ]$
da cui si ottiene che
$\alpha+\beta+\gamma\in[-45^\circ, +370^\circ]$
plottando atan2 con matlab, nel range specificato, ottengo
che equivale a:
\begin{equation*} \text{atan2}(sin (\alpha+\beta+\gamma),cos (\alpha+\beta+\gamma)) =
\begin{cases}
\alpha+\beta+\gamma & \text{if $\alpha+\beta+\gamma\le 180^\circ$} \\
\alpha+\beta+\gamma-360^\circ & \text{if $\alpha+\beta+\gamma>180^\circ$} ...
Salve a tutti sto svolgendo questo esercizio:
Determinare la forma canonica di Jordan della seguente matrice e la base rispetto alla quale la matrice A ammette la forma canonica:
$A=[[0,1,-1,-1,1,-1],[0,0,1,1,0,0],[0,0,1,1,0,0],[0,0,0,1,0,1],[0,0,0,0,2,-1],[0,0,0,0,1,0]]$
ottengo che $det(A- $ $\lambda$ $ I) = (\lambda)^2 ( 1- \lambda ) ( \lambda -1) (-\lambda^2 + 2 \lambda -1) $
per cui avrò
$\lambda_1=0$ con molteplicità algebrica 2
$\lambda_2=1$ con molteplicità algebrica 4.
Per $\lambda_1$ ottengo molteplicità geometrica pari a 1 e avrò quindi un unico blocco di ordine due.
Per ...
Ciao a tutti, sapresti scrivere un equazione lineare in tre indeterminate (k1x1+k2x2+k3x3=0) tale che il tutti gli elementi del sottospazio generato dai vettori v1(1,0,4) e v2(-1,1,2) siano soluzione. Qual è il metodo per risolvere questo quesito?
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