Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Dunque, questa è la prima domanda (spero la prima ed unica ). Ho un dubbio che mi attanaglia da un po', avendo iniziato da poco il corso di algebra lineare e geometria.
Ho capito cos'è un sistema di generatori: dato un sistema di vettori A, se il loro span lineare genera tutto lo spazio vettoriale, A è definito sistema di generatori dello spazio vettoriale. E fin qui ci siamo. A questo punto mi sorge un dubbio. I sistemi di generatori possono essere sia linearmente indipendenti nonché ...
mi viene chiesto di diagonalizzare la matrice $ A=( ( 3, 1 , 0 ),( 1 , 1 , 0 ),( 0 , 0 , 2 ) ) $ associata a una forma bilineare associata a sua volta a una quadratica su base ortonormale.
gli autovalori sono $ lambda_1=2+sqrt(2)$ , $lambda_2=2-sqrt(2)$, $lambda_3=2$
la base mi viene $B={( (1+sqrt(2)), (1) , (0) ),( (1-sqrt(2)) , (1) , (0) ),( (0) , (0) , (1) ) } $ che, provenendo da una matrice simmetrica, è ortoGonale
ortoNormalizzata viene $ B={( ((1+sqrt(2))/(sqrt(4+2sqrt(2)))), (1/(sqrt(4+2sqrt(2)))) , (0) ),( ((1-sqrt(2))/(sqrt(4-2sqrt(2)))) , (1/(sqrt(4-2sqrt(2)))) , (0) ),( (0) , (0) , (1) ) } $
ora la matrice diagonalizzata è sempre $ C=((2+sqrt(2)),(0),(0)),((0),(2-sqrt(2)),(0)),((0),(0),(2))) $ o si trova come
matrice diagonalizzata=trasposta di B * A * B con B ...
Ho questo esercizio
U = {f(x) ∈ R2[x] : f(1) = 0}, nel riferimento vettoriale R = (1 + x, 1 − x, x + x^2) di R2[x]
ora se considero il generico polinomio Ao+A1X+A2X^2 e considero la funzione f(1)=A0+A1+A2=0
fin qui tutto ok , il problema sorge quando l'esercizio mi chiede una base la dimensione e le equazioni rappresentative nel riferimento vettoriale R.
Ciao a tutti! Sono una povera studentessa di ing. edile-architettura e a gennaio ho il mio primo esame, geometria
In un esame che stavo facendo per esercizio, c'era la seguente domanda filtro:
[size=150] per quali k appartenenti ad R la matrice |(4,1)(k^2-3,-5)| ammette una base ortonormale di autovettori?[/size]
Io avevo pensato che se la matrice fosse stata associata ad uno spazio vettoriale metrico, ossia ad uno scalare def positivo, avrei potuto usare l'ortogonalizzazione di ...
Buongiorno,
Devo rispondere vero o falso motivando, a questo:
Una matrice unitaria reale ammette almeno un autovalore reale.
Adesso ho qualche dubbio, mi viene da pensare che sia sbagliato il testo in quanto le matrici unitarie sono complesse.
Se si intende che questa matrice ha coefficienti reali ho visto che non è vero prendendo ad esempio la matrice
$((0,1),(-1,0))$
Altrimenti se è sbagliato il testo non saprei come partire per dimostrare.
Chiedo il vostro aiuto per la giusta ...
Ciao a tutti, sono incappato in un problema che ha dell'impossibile, ovvero due rette mi risultano essere parallele ma anche incidenti, il che non ha senso. Vi mostro cosa ho fatto:
le due rette sono:
r: x -tz +2 = x +y = 0 e s: x+y = z + 1/2x +1 = 0
L'esercizio chiede di trovare per quali t le due rette sono parallele e per quali altre sono incidenti. Per determinare il parallelismo ho utilizzato il prodotto vettoriale:
vett direzionale di r: (t, -t ,1) e vettore direzionale di s: (2, -2, ...
Cari ragazzi,
Finalmente mi sono deciso a studiare un po' di Geometria Differenziale. Principalmente sto seguendo il Lee, "Introduction to Smooth Manifolds", anche se mi appoggio a innumerevoli altri testi, che mi sta piacendo moltissimo. Dopo aver letto i primi capitoli (essendo per piacere personale procedo un po' saltando) mi sono fermato per cimentarmi con la pratica per cementare quanto appreso. Mi sono scontrato da subito con questo dubbio che riporto.
In questo post ho usato ...
riferendomi all' immagine di sopra mi sono chiari i passaggi che portano all' equazione vettoriale della retta ma non capisco quando sceglie come vettore direttore
$ vec(OQ) =vec(OP_2)-vec(OP_1) $. non avrebbe ad esempio potuto scegliere anche $ vec(OQ) =vec(OP_1)-vec(OP_2) $ ?
non sarebbe anche quest ultimo vettore parallelo a r?
grazie in anticipo
Ciao a tutti, sono uno studente dell'ultimo anno di liceo. Per la maturità sto preparando una mini tesi riguardo le oscillazioni e il caos legate alle equazioni differenziali ordinarie. Una sezione del mio lavoro è la classificazione dei sistemi dinamici in base ai loro autovalori. Il mio problema è il seguente:
Per esemplificare la configurazione derivante dal punto fisso denominato centro ho inserito la matrice:
\begin{pmatrix}
3 & -2
\\ 9 &-3
\end{pmatrix}
i cui autovalori sono ...
Salve ragazzi, ho una forma bilineare simmetrica:
$ B=x_1x_1'-x_1x_2'-x_1'x_2+x_2x_2'+x_3x_3' $
E la forma quadratica ad essa associata:
$ Q=x_1^2-2x_1x_2+x_2^2+x_3^2 $
Come scrivo la matrice associata a B e la matrice associata a Q?
Io ho fatto così ditemi se ho sbagliato:
B=$((x_1x_1',x_1x_2',x_1x_3'),(x_2x_1',x_2x_2',x_2x_3'),(x_3x_1',x_3x_2',x_3x_3'))$
Da cui ho ottenuto:
B=$((1,-1,0),(-1,1,0),(0,0,1))$
E' giusto? Per quanto riguarda la forma quadratica invece ho molti più dubbi, cioè per la forma bilineare ho semplicemente scritto i coefficienti, ma per la forma quadratica devo fare la stessa cosa? O ...
Salve, e buon Natale a tutti !
mi occorre il vostro aiuto,
ho questa matrice $((1,1),(2,2))$ so che è diagonalizzabile perchè ha 2 autovalori distinti che sono : 0,1.
Posso dire che la matrice diagonale simile è $((0,0),(0,3))$ che sarebbe la matrice con gli autovalori sulla diagonale?
il dubbio mi viene perchè questa matrice ha una colonna di tutti 0.
Grazie a chi mi aiuterà!
Buongiorno,
Data la seguente funzione : $ sqrt(|x-1|)-3*log(1+sqrt(|x-1|)) $
Dopo aver studiato la derivata prima e aver trovato un punto di cuspide nel punto di coordinate (1,0) e date le crescenze negli intervalli ]-3,1[ e in ]5,+infinito[ e le decrescenze negli intervalli ]-infinito,-3[ e in ]1,5[ e che i punti -3 e 5 sono punti di minimo assoluto e che il punto 1 è punto di massimo relativo; non ho capito per quale motivo sul mio libro, senza calcolare la derivata seconda, vengano individuati due punti di ...
Ciao ragazzi, mi è sorto un dubbio guardando un esercizio su internet
Data per esempio un applicazione lineare $ f : RR^3 ---> RR^3 $ e dati
$ f (1,1,1)= (1,1,0) $
$ f (0,1,1) = (1,0,1) $
$ f ( 0,-1,1) = (0,0,0) $
Trovare $ Im $ e $ Ker (f) $
Prima bisogna vedere se $ ((1,1,1), (0,1,1), (0,-1,1) $ sono linearmente indipendenti.
Fatto questo devo mettere i 3 vettori $ ((1,1,0) , (1,0,1) , (0,0,0) $ in forma matriciale per trovare l immagine. Qua arriva il problema , non riesco a capire perche li mette in vettori colonna i ...
sono alle prime armi in questa materia e vorrei chiarire subito un aspetto che sul mio testo di riferimento viene espresso più volte. riassumendo mi è stata definita una funzione $F_b$che va da $V_o^2$ in $R^2$ ,si è poi introdotta una somma e un prodotto per uno scalare su $R^2$.E fin qui tutto apposto.
Quello che non capisco è da dove derivi l'equivalenza tra un sistema ed una equazione dove compaiono elementi di $R^2$ come quelli ...
La dimostrazione del teorema l'ho capito, quello che non capisco è come dimostrare che le basi sono linearmente indipendenti.
io ho $0=a_1v_1+...+a_rv_r+b_(r+1)u_(r+1)+...+b_pu_p+y_(r+1)w_(r+1)+...+y_qw_q$
che equivale a dire $0=v+u+w$
ora dato che $w=-v-u$ e $winW$ e $v,uinU$ (perchè v è una base di $UnnW$) $w=UnnW$ cioè appartiene sia a U che a W
e ora inizia il pezzo che non capisco...lo scrivo e basta
$w=delta_1v_1+...+delta_rv_r=gamma_(r+1)w_(r+1)+...+gamma_qw_q$
$0=delta_1v_1+...+delta_rv_r-gamma_(r+1)w_(r+1)+...+gamma_qw_q$
e quindi $(v_1,v_r,w_(r+1),w_q)$ è una base ...
Salve ragazzi..
Ho un bel problema con la funzione Proiezione Lineare.
Dato uno spazio vettoriale $V$ di dimensione $n$ e un sottospazio vettoriale $U$, dimostrare che è sempre data una $K-$Proiezione Lineare su $U$, cioè un $\pi_U in Hom(V,V)$ con $Im\pi=U$ e $AA u in U: \pi_U(u)=u$.
Inoltre, è $\pi_U$ unica? E l'applicazione $\pi:V \to V$ che soddisfa $Im\pi=U$ e $AA u in U: \pi_U(u)=u$, è ...
non riesco a capire come risolvere il seguente problema
date due rette r e s di equazioni:
r= $ { ( x=5-5t ),( y=t ),( z=-1+2t ):} $ s= $ { ( x=3t ),( y=1+2t ),( z=t+1 ):} $
determinare se sono parallele, incidenti o sghembe e, nel caso di incidenti, trovare il punto in cui si intersecano
la prima cosa che ho fatto è stata trovarmi i vettori che vanno a formare i due sistemi parametrici ottenendo
r: v= $ ( ( 5 ),( 0 ),( -1 ) ) $ + t$ ( ( -5 ),( 1 ),( 2 ) ) $ e s: v= $ ( ( 0 ),( 1 ),( 1 ) ) $ + t $ ( ( 3 ),( 2 ),( 1 ) ) $
(da ora in poi penserò alle ...
Il problema è il seguente:
V={A appartiene M2,2(R): a11+a12+2a22=0}
Verifica che le matrici:
A1= $[[1,1],[0,-1]]$ A2= $[[1,1],[4,-1]]$ A3= $[[-1,1],[-2,0]]$
Formano una base B di V
Verifica che le matrici :
D1: $[[0,0],[8,0]]$ D2: $[[1,-1],[0,0]]$ D3: $[[1,3],[-5,-2]]$
Formano una base B1 di V.
Poi trovare la matrice C del cambiamento di base da B a B1
Ciao a tutti !! Dopo che l'altro esercizio postato è stato confermato esatto, posto la seconda sulle tre possibili tipologie di compito d'esame. Potreste,gentilmente, dirmi se ho svolto correttamente l'esercizio ?
Discutere al variare del parametro K il sistema lineare Ax=B
A= $((k,2k-1,k+2),(0,k-1,k-3),(k,3k-2,3k+1))$
B= $((1),(k+1),(2-k))$
1)calcolo il determinante (prima semplifico la prima colonna di A per k
det(A)= K* (K^2 + k -2)
quindi per K diverso da 0,1,-2 il det è diverso da 0 quindi la caratteristica è 3 ...
Dato $V={v=(x,y,z,t)\inRR^4\x-t-z=0, z=y+t}$ devo trovare una base. Mi confermate questo che faccio?
$\{(x-t-z=0),(z=y+t):}$ $\{(x=z+t),(z=y+t):}$ $\{(x=y+2t),(z=y+t):}$
$\{(x=\alpha+2\beta),(y=\alpha),(z=\alpha+\beta),(t=\beta):} \alpha,\beta\inR$
Quindi la base $B={((1),(1),(1),(0)),((2),(0),(1),(1))}$
Nella soluzione il secondo vettore torna, mentre il primo viene $((1),(-1),(0),(1))$
Visto che la base non è unica, credo che abbia semplicemente risolto il sistema diversamente ma preferisco chiedere se il mio risultato è giusto lo stesso.
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