Topologia aiuto esercizio

[lapi1]

Si considerino le seguenti topologie su R: naturale, semirette destre, semirette sinistre, topologia discreta, (0,R,]-a,a[ con a>0) e (0, R, ]1,4[).
In ciascuna di esse, si esibiscano, se esistono
1) un ricoprimento di R fatto di aperti da cui NON si possa estrarre un sottoricoprimento finito
2) un ricoprimento di R fatto di chiusi da cui NON si possa estrarre un sottoricoprimento finito
3) un ricoprimento di R fatto di aperti da cui si possa estrarre un sottoricoprimento finito

- si confrontino le topologie assegnate (più o meno fini e non confrontabili)

[Kashaman]

Quindi?

[lapi1]

quindi non riesco a capire come impostare l'esercizio

[vict85]

Il primo è equivalente a chiederti quali di quelle topologie non sono compatte.

Quella naturale non lo è. Ti basta considerare il ricoprimento ai aperti fatto da \(\displaystyle (n,n+2) \) per ogni \(\displaystyle n\in \mathbb{N} \). Prova a dimostrare che non puoi estrarre un sottoricoprimento finito di questo.

Semiretta destre e semirette sinistre sono simili, ma in questo caso il sottoricoprimento è per forza di cose una successione crescente di aperti.

Per la topologia discreta è molto facile e non ti do il ricoprimento. Prova a pensare a quali sono gli aperti.

Quello successivo è molto simile alle semiretta come esempio.

Questo è l'unica compatta. Dimostralo.

Comincia a risolvere queste.

[lapi1]

Grazie, mi hai dato una grande mano!
Ma per quanto riguarda le semirette destre e sinistre, posso trovare un ricoprimento di chiusi?

[vict85]

Anche i chiusi sono uno dentro l'altro. Considera l'unione di un numero finito di chiusi e confrontalo con tutto \(\mathbb{R}\).