Geometria e Algebra Lineare
Discussioni su problemi, esercizi e teoremi che riguardano la geometria, l'algebra lineare e la topologia
Domande e risposte
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Buonasera a tutti, vi propongo questo esercizio:
Quale dei seguenti vettori è la proiezione ortogonale rispetto al prodotto scalare standard di $RR^3$ del vettore $u= ((3,6,0))$ sul piano $\pi$ di equazione $x-y+z=0$ ?
a) $(4,3,-1)$
b) $(4,5,1)$
c) $(4,4,0)$
d) $(4,6,2)$
e) $(4,7,3)$
La risposta corretta è la b, ma perché ?
Il piano può essere riscritto in forma $(-1,0,1),(1,1,0)$ ora facendo la proiezione ortogonale ...
Salve
mi serve capire praticamente come passare dall' equazione cartesiana a quella paramentrica in questo caso:
$ { ( x+y+z-2=0 ),( x+y-z=0 ):} $
Allora se pongo ad esempio $ x=t$
$ { ( x=t ),( y=2-z-t ),( t+2-z-t-z=0 ):} $
Nell' ultima equazione mi troverei un valore di z... sto sbagliando qualcosa
Salve a tutti, ho una circonferenza di raggio iniziale $ r0 $, che si espande a ritmo costante secondo la legge $ (dr)/(dt) = 10 $ $ (cm)/s $. Come descrivereste l'andamento del raggio, e la lunghezza di C nel tempo?
Io credo che dopo un'istante di tempo $ t $, il raggio della circonferenza aumenti di un fattore $ r' = t*((dr)/dt) $, però nonostante dimensionalmente sia corretta, non sono del tutto convinto di ciò...
Voi che dite?
Salve ragazzi, mi sono appena iscritto al forum.
Volevo chiedere se esiste un algoritmo preciso per il calcolo del polinomio minimo di una matrice, ho provato a cercare qualcosa su internet e sui libri di testo ma non ho trovato nulla.
Grazie in anticipo.
Salve, vi spiego il mio dubbio con un esempio pratico:
Sia
$ f(e1) = e1+ke2 $
$f(e2)=2e1+e2 $
$ g(e1)=-e1+e2 $
$ g(e2)=3e1 $
determinare z= g o f.
Dunque $ g o f = g(f) = g(e1+ke2;2e1+e2) = (-e1-ke2+2e1+e2;3e1+3ke2) $
$ z= [ ( 1 , 3 ),( 1-k , 3k ) ] $
Se avessi fatto il prodotto fra matrici allora z sarebbe stata f*g
Infatti:
$ f= [ ( 1 , 2 ),( k , 1 ) ] * g= [ ( -1 , 3 ),( 1 , 0 ) ] -> z= [ ( -1+2 , 3+0 ),( -k+1 , 3k ) ] $
Ma prendendo quest' altro caso in cui
$p(x1,x2)=(x1,x2,x1)$
$s(x1,x2,x3)=(tx1+x2+tx3;x1+x2+x3)$
$w=p o s$
Allora primo metodo
$p(s)=p(tx1+x2+tx3;x1+x2+x3)=(tx1+x2+tx3;x1+x2+x3;tx1+x2+tx3)$
$-> s= $ $ [ ( t , 1 , t ),( 1 , 1 , 1 ),( t , 1 , t ) ] $
E si vede che s è il ...
ho le rette $ r{ ( x-y+z+4=0 ),( x+2y-z=0 ):} $ e $ s{ ( x+y-z-1=0 ),( x-2y-2=0 ):} $ e il punto $P=(-14,7,-2)$.
Come trovo un punto $Rinr$ tale che la retta passante per $P$ e $R$ intersechi la retta $s$ in un punto?
(Si sa già per certo che una retta che intersechi sia $s$ che $r$ esiste quindi non serve verificarlo)
Esiste un endomorfismo $f$ di $R^3$ tale che $f(1,0,0)=(2,0,1)$ e $f(-1,0,0)=(2,1,-1)$ ?
Se si, scrivere un esempio.
Se no, dire perchè
Qualcuno potrebbe spiegarmi come posso fare quest'esercizio, non so proprio da dove partire in particolare il primo punto mi blocca.
Nello spazio vettoriale R^4 si considerino i sottoinsiemi S = {(1, 0, 1, 1),(0, 1, 1, 1),(2, −1, 1, 1)} e
T = {(2, 3, 1, 0),(1, 2, 0, 1),(1, 1, 1, 0)}.
(i) Dire se S si può completare in una base di R^4 e perchè
(ii) Calcolare la dimensione e scrivere una base del sottospazio W = L(S) generato da S.
(iii) Calcolare la dimensione e scrivere una base del ...
Ho tre funzioni y1= cos(x) ; y2= x^2 + x ; y3 = (cos(x))^2 +2x+2;
A occhio sono linearmente indipendenti, non posso scrivere una funzione come combinazione lineare delle altre due.
Per dimostrarlo assegno tre valori alla x e provo a risolvere il sistema :
per x = 0 --> a + 3c = 0 ;
per x= π/2 --> b((π/2)^2 + π/2) + c(π+2) = 0;
per x= 3π/2 --> b((3π/2)^2 + 3π/2) + c(3π +2) = 0;
Sottraendo la terza dalla seconda ottengo :
b(3π^2 + π) + c(2π) = 0
come posso proseguire ? Vi ringrazio.
Salve a tutti,
Ho la matrice simmetrica di rango 1: $ A=((1,2,-1),(2,4,-2),(-1,-2,1)) $ e devo trovare due matrici ortogonali distinte $P$ e $R$ tali che essendo $D$ una matrice diagonale si abbia $A= PDP^(-1) $ e $A=RDR^(-1)$
$P$ e $R$ devono essere diverse non per il solo cambiamento di segno di alcuni coefficienti.
Allora $dim(Kerf)=2$ poi la traccia è 6 quindi gli autovalori sono 0 con molteplicità 2 e 6 con molteplicità 1 ...
Ciao a tutti, avrei un altro problema
Sia $W(a,b)= { (x,y) in RR^2 : a^2x+by^2>=0}$ Per quali $a,b in RR^2$ $W(a,b)$ è un sottospazio di $RR^2$?
Come devo procere?
Se non ci fossero i parametri saprei come comportarmi, ma purtroppo ci sono... come posso fare?
Trovare nucleo, immagine, e diagonalizzare (quindi trovare la matrice diagonale) il seguente endomorfismo:
f : M2 (R) -> M2(R)
$ ( ( a , b ),( c , d ) ) rarr ( ( 1 , 1 ),( 1 , 1 ) ) ( ( a , b ),( c , d ) ) $
Quando si tratta di matrici mi confondo.. non riesco proprio a fare questo esercizio.. qualcuno potrebbe svolgerlo con i passaggi così da farmi capire come procedere quando ho di fronte questa tipologia di esercizio? Grazie a tutti anticipatamente
Salve a tutti,
sto affrontando alcuni esercizi sulle varietà differenziabili immerse, generalmente definite come luogo degli zeri di un vincolo. Fra le altre cose si chiede di discuterne la compattezza, e dunque (in $\mathbbR^n$) chiusura e limitatezza.
Provare che una varietà è illimitata finora non mi ha dato problemi, ma nel caso opposto in cui devo provare che essa è limitata procedo sempre a "tentoni". So che non esiste un metodo generale per provare la limitatezza, ma sarei lieto se ...
Salve ragazzi, ho un problema, devo calcolare la varianza dei residui nel OLS non capisco un passaggio "geometrico":
$E[e'e]=E[ u'M' Mu ]=E[u'Mu] $
$M$ è una matrice idempotente, trovo scritto che il valore atteso è uno scalare (su questo sono d'accordo), dopo di che viene detto che uno scalare coincide sempre con la sua traccia (???), dove la traccia di una matrice è la somma degli elementi sulla diagonale. Per la proprietà ciclica della traccia (mai sentito parlare di proprietà ciclica…), ...
Ciao ragazzi
vi propongo la seguente domanda:
"Enunciare la condizione necessaria affinchè i punti di minima distanza siano unici."
Ho chiaro il concetto di punti di minima distanza, quello che non capisco è quale sia la condizione necessaria affinchè siano unici
grazie mille per l'aiuto
Ciao a tutti! Ripensando alla definizione di k-forma differenziale mi è sorto un dubbio:
Dato il fibrato vettoriale $ pi:^^ ^kT^**M->M $ una sezione di tale fibrato è un'applicazione liscia $ s:M->^^ ^kT^**M $ tale che ad un punto $ p $ associa la coppia $ (p,w(p)) $ dove $ w(p)inwedge^kT_p^**M $ .
Se definiamo k-forma differenziale una sezione di questo tipo ho che la forma differenziale è la coppia $ (p,w(p)) $ e non l'applicazione $w:p|-> w(p)$ come è solito ...
Buonasera a tutti, vi propongo questo esercizio preso direttamente dal testo di esame di algebra lineare:
Considerare, al variare di $ \lambda in RR$, l’applicazione bilineare simmetrica $g_\lambda : RR^3$ x $ RR^3 => RR$,
la cui corrispondente forma quadratica è data, nelle coordinate determinate dalla base canonica, da:
$q_\lambda (x, y, z) = \lambda(x^2 + y^2 + z^2) + 1/2\lambdaxz$
a) Determinare la matrice associata a $g_\lambda$ tramite la base canonica
b) Determinare i valori di $\lambda in RR$ per cui ...
Ciao ragazzi
dovrei dimostrare questa cosa:
"Siano V uno spazio vettoriale euclideo, v ∈ V e W un sottospazio di V di dim(W) = n < ∞. Dimostrare che in v +W esiste un vettore di modulo minimo."
Potreste darmi una mano ? non riesco a capire cosa significhi
Ciao ragazzi,chi mi da gentilmente una mano con questo esercizio?
" Dato un insieme di x di vettori,determinare L(X) "
X=[(2,1,0,1),(1,0,2,-1),(-1,3,1,1)] L(X) = ?
Ho letto in linea generale (e non so nemmeno se è una cosa giusta..) che esistono varie dimensioni da attribuire a L(X)..In particolare:
- Un vettore genera (chiusura lineare) la retta r che lo contiene dim L(X) =1 (che tra l'altro non ho capito nemmeno cosa significa )
- Se ho due vettori e verifico che sono ...
Salve!
Piacere di Conoscervi
Ho un dubbio su una matrice diagonalizzabile.
Sto svolgendo un tema d'esame(dello scorso appello) in vista della prossima seduta(Lunedì) e mi è sorto un dubbio.
L'ultimo punto dell'esercizio chiede:
Indicata con A la matrice Mee(f) associata ad f rispetto alla base canonica, stabilire se A risulta diagonalizzabile e , in caso affermativo, determinare una matrice P diagonalizzante e la corrispondente matrice diagonale D, a cui risulta ...
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