Prodotto scalare e prodotto hermitiano
ciao a tutti 
in un esame di algebra mi sono trovato di fronte a questi due esercizi molto simili e non ho saputo affrontarli:
1) data la matrice 3x3 in C:
(0 -i8 0)
(i8 0 8)
(0 8 0)
Si scriva il esplicitamente il prodotto herimitiano associato a tale matrice
2) dato il prodotto scalare in R3:
<(u1,u2,u3),(v1,v2,v3)> = 9u1v1-4u2v1-4u1v2+7u2v2-4u1v3-4u3v1+11u3v3
Si scriva la matrice associata a tale prodotto nella base canonica
Mi dareste una mano? quale ragionamento devo seguire per trovare i prodotti e le matrici associate?
in un esame di algebra mi sono trovato di fronte a questi due esercizi molto simili e non ho saputo affrontarli:1) data la matrice 3x3 in C:
(0 -i8 0)
(i8 0 8)
(0 8 0)
Si scriva il esplicitamente il prodotto herimitiano associato a tale matrice
2) dato il prodotto scalare in R3:
<(u1,u2,u3),(v1,v2,v3)> = 9u1v1-4u2v1-4u1v2+7u2v2-4u1v3-4u3v1+11u3v3
Si scriva la matrice associata a tale prodotto nella base canonica
Mi dareste una mano? quale ragionamento devo seguire per trovare i prodotti e le matrici associate?
Risposte
Ciao.
1) Immagino che la matrice data $A in M(3 xx 3;CC)$ sia questa:
$A=((0,-i8,0),(i8,0,8),(0,8,0))$
(si ottiene mettendo tra due segni del dollaro A=((0,-i8,0),(i8,0,8),(0,8,0)), come spiegato nelle [formule][/formule])
Notazione: dato un numero complesso $z=a+ib$, il suo "complesso coniugato", definito da $a-ib$, si indica con $barz$.
Siano $v_1,v_2 in CC^3$, dati da
$v_1=((x_1),(y_1),(z_1))$ e $v_2=((x_2),(y_2),(z_2))$
Il prodotto hermitiano associato alla matrice $A$ è dato da
$ =((x_1),(y_1),(z_1))^T*A*((bar(x_2)),(bar(y_2)),(bar(z_2)))=((x_1,y_1,z_1))*A*((bar(x_2)),(bar(y_2)),(bar(z_2)))$
cioè
$ =((x_1,y_1,z_1))*((0,-i8,0),(i8,0,8),(0,8,0))*((bar(x_2)),(bar(y_2)),(bar(z_2)))$
quindi
$ =-8ix_1bar(y_2)+8iy_1bar(x_2)+8y_1bar(z_2)+8z_1bar(y_2)$
2) Dato il prodotto scalare in $RR^3$
$<(u1,u2,u3),(v1,v2,v3)> = 9u_1v_1-4u_2v_1-4u_1v_2+7u_2v_2-4u_1v_3-4u_3v_1+11u_3v_3$
Si tratta di cercare una nuova matrice $A in M(3 xx 3;RR)$ simmetrica tale che
$ =((u_1),(u_2),(u_3))^T*A*((v_1),(v_2),(v_3))=((u_1,u_2,u_3))*A*((v_1),(v_2),(v_3))$
cioè
$ =((u_1,u_2,u_3))*((a,b,c),(b,d,e),(c,e,f))*((v_1),(v_2),(v_3))$
$ =au_1v_1+bu_1v_2+cu_1v_3+bu_2v_1+du_2v_2+eu_2v_3+au_3v_1+eu_3v_2+fu_3v_3$
da cui si ricava che
$A=((9,-4,-4),(-4,7,0),(-4,0,11))$
Saluti.
1) Immagino che la matrice data $A in M(3 xx 3;CC)$ sia questa:
$A=((0,-i8,0),(i8,0,8),(0,8,0))$
(si ottiene mettendo tra due segni del dollaro A=((0,-i8,0),(i8,0,8),(0,8,0)), come spiegato nelle [formule][/formule])
Notazione: dato un numero complesso $z=a+ib$, il suo "complesso coniugato", definito da $a-ib$, si indica con $barz$.
Siano $v_1,v_2 in CC^3$, dati da
$v_1=((x_1),(y_1),(z_1))$ e $v_2=((x_2),(y_2),(z_2))$
Il prodotto hermitiano associato alla matrice $A$ è dato da
$
cioè
$
quindi
$
2) Dato il prodotto scalare in $RR^3$
$<(u1,u2,u3),(v1,v2,v3)> = 9u_1v_1-4u_2v_1-4u_1v_2+7u_2v_2-4u_1v_3-4u_3v_1+11u_3v_3$
Si tratta di cercare una nuova matrice $A in M(3 xx 3;RR)$ simmetrica tale che
$
cioè
$
$
da cui si ricava che
$A=((9,-4,-4),(-4,7,0),(-4,0,11))$
Saluti.
Grazie mille, sei stato molto chiaro
Di nulla.
Saluti.
Saluti.
Scusa ma se nell'ultima matrice volessi verificare se 3,9,5 sono o meno autovalori come dovrei procedere? Per verificare l'appartenenza di autovettori so come procedere ma non quando si tratta di autovalori
"galaxymaster":
Scusa ma se nell'ultima matrice volessi verificare se 3,9,5 sono o meno autovalori come dovrei procedere? Per verificare l'appartenenza di autovettori so come procedere ma non quando si tratta di autovalori
Gli autovalori sono le radici del polinomio caratteristico, quindi, avendo uno scalare $lambda$, esso sarà autovalore della matrice $A$ se vale $|A-lambdaI|=0$.
Saluti.
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